Matrices: Definición, tipos y operaciones

Matrices

Una matriz es el conjunto de valores distribuidos en filas y columnas. Se denomina matriz real a aquella que está formada por números reales. Para caracterizar una matriz se utiliza una letra mayúscula y se indica el tamaño de la misma, definido por el orden de dicha matriz

Orden:

Es la cantidad de filas y de columnas que posee la matriz, se determina multiplicando el número de filas por el de columnas.

Conjunto de matrices reales:

El conjunto de todas las matrices reales que tiene “m” filas y n”” columnas, se simboliza mediante R (MXN), POR EJEMPLO: (4X3), es el conjunto de todos los mn que tiene 4 filas y 3 columnas

Expresión Gral. De una matriz

Una matriz de m filas y n columnas se define mediante:

A(MXN) [ A 11 a 12 a 13……………]

A 21 a 22 a 23

Elemento genérico

Se define utilizado una letra minúscula y considerado como subíndice otras 2 letras que derminan su posición, la primera indica la fila y la segunda la columna. Un elemento genérico de una matriz “A”, se simboliza mediante: aij

Definición de una matriz mediante su elemento genérico

Una matriz a de m filas y n columnas se define de la siguiente manera: A ,mxn: [aij] mxn

Tipo de matrices

Matriz rectangular: tiene diferente número de filas que de columnas. M distinto de n

Matriz cuadrada: es aquella que tiene el mismo número de filas que de columnas m=n

Matriz fila: tiene una sola fila. M=1

Matriz columna: tiene una sola columna. N=1Matriz nula: tiene todos sus elementos iguales a cero, es decir: aij=0 AI AJ (ALREVEZ PARA TODO I Y J)

Matriz triangular superior: es una matriz cuadrada cuyos elementos situados debajo de la diagonal principal son iguales a cero, es decir aij=0 si i>j---Matriz triangular inferior: es una matriz cuadrada, cuyos elementos situados arriba de la diagonal principal son iguales a cero, es decir: aij=0 si i

Matriz simétrica:

Es la matriz cuadrada que tiene iguales los elementos situados simétricamente con respecto a la diagonal principal, es decir: aij=aji AI AJ (ALREVEZ)----Matriz asimétrica: es una matriz cuadra que tiene opuestos a los elementos situados simétricamente con respecto a la diagonal principal y los elementos ubicados en la diagonal principal iguales a cero, es decir: aij (aji si i es distinto de j, 0 si i es =j)

Igualdad de matrices

Dos matrices son iguales cuando tiene el mismo orden y los elementos homónimos son iguales

Amxn : [AIJ] mxn y B= [bij] pxq son iguales

Suma de matrices

La suma de 2 matrices de igual orden da por resultado una matriz del mismo orden que las dadas

Y sus elementos se obtienen sumando los elementos homónimos, es decir: Dadas 2 matrices a,mxn: [ aij] mxn y b, mxn [bij] mxn= Amxn+Bmxn=[aij] mxn + [bij] mxn= [aij+bij] mxn

Aclaración: si 2 matrices no tiene el mismo orden, la suma no se puede realizar----

Resta de matrices

La resta de matrices, se define utilizando la opuesta de una matriz. Restar una matriz A con otra matriz B equivale a sumarle a la primera lo opuesto de la segunda, es decir:

A,mxn-B,mxn=A,mxn+(-b,mxn)=[aij] mxn+[-bij] mxn= [aij-bij]mxn

Multiplicación de matrices numero )escalar) por una matriz

La multiplicación de un escalar con una matriz da como resultado una matriz que resulta de multiplicar el escalar por cada elemento de la matriz inicial, es decir: Dado R escalar K Y LA MATRIZ “A” mxn: k x Amxn= K [aij] mxn= [k.a.i.j] mxn

Multiplicación de 2 matrices

Para multiplicar 2 matrices se debe tener en cuenta las siguientes ecuaciones:

·La cantidad de columnas de la primera debe coincidir con la cantidad de filas de la segunda, La operación se realiza entre los elementos de las filas de la primera con los elementos de la segunda correspondiente

Matriz inversa

Aclaración: no todas las matrices cuadradas tienen sus inversas correspondientes

Matriz singular: Es aquella matriz cuadrada que no tiene inversa

Matriz no singular o regular: es aquella matriz cuadra que tiene inversa

Operaciones elementales. Son las que se realizan con las filas:

1)Permutar 2 filas entre si, Multiplicar o dividir los elementos de una ila por un numero diferente de cero, Sumar a una fila otra fila, Combinación de las operaciones anteriores --

Matrices equivalentes

Dos matrices son equivalentes cuando aplicación operaciones elementales con filas a una de ellas se puede obtener la otra---Método de GAUSS- JORDAN para hallar la inversa de una matriz: dada la matriz cuadrada A, el procedimiento consiste en: colocar al lado de la matriz , la matriz identidad, es decir A]I

2)Aplicar las operaciones elementales hasta obtener las matrices equivalentes:

I A´, A´ SERIA LA IVNERSA DE A, es decir : A´= A-IAclaración:Si aplicando las operaciones elementales no se obtiene la matriz identidad, entonces la matriz original no tiene inversa. Para obtener la matriz identidad se deben seguir los siguientes pasos:

·Obtener el 1 de la primera columna,Hallar los ceros de la primera columna

·Obtener el 1 de la segunda columna, Hallar los ceros de la segunda columna