Mates soluciones ejercicios
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1.- Determina dos números cuya suma sea 24 y tales que el producto de uno de ellos por el cubo del otro sea máximo.
x+y=24 -> x=24-y
Funcion: f(x,y) = x· y 3 ⇒ f(y) = (24 − y )· y^3 = 24 y^3 − y^4 Derivada: f´(y) = 72 y 2 − 4 y 3
Igualar a 0: 72-4y=0 ⇒ 4y=72 ⇒ y=72/4=18
Resoldre:f´´(y)=144y-12y^2
f''(0)= 144·0-12·0^2 = 0 Punt inf.
f(18) 144·18 - 12·18^2 = -1296 <0>0>Max. local X=24-18=6
2. Calcula el área máxima que puede tener un triángulo rectángulo tal que la suma de la longitudes de sus dos catetos vale 4 cm
x+y=4 -> x=4-y
Funcion: f(x,y) =(4-y)/2 f(Y)=y*(4-y)/2= 4y-y^2/2
Derivada: f´(y) =4-2y/2 Igualar a 0: 4-2y/2=0 ⇒ 2y=4 ⇒ y=4/2 =2
Resoldre:f´´(y)=0-2/2=-1<0>0>Max local
y=2 x = 2 ->2*2/2
3.- Si se quiere vallar un campo rectangular que está junto a un camino. Si la valla del lado del camino cuesta 80 Euros/m y la de los otros 10 Euro/m, halla el área del mayor campo que puede cercarse con 28800 Euros.
90x+20y=28800 ->9x+2y=2880-> y=1440-4.5x
f(x,y)x*y-->f(x)=x*(1440-4.5x) =1440y-4.5x^2
f'(x)=1440-9x =0 ->9x= 1440 ->x = 1440/9 =160
F''(x)= 0-9=-9<0>0>max local Y=1440- 4.5*160 =720
4. Las páginas de un libro deben medir cada una 600 cm2 de área.
Sus márgenes laterales y el inferior miden 2 cm. y el superior mide 3 cm. Calcular las dimensiones de la página que permitan obtener la mayor área impresa posible.
5.- Entre todos los rectángulos inscritos en una circunferencia de radio 10 cm, calcula las dimensiones del que tenga área máxima.6.- Se quiere construir un depósito abierto de base cuadrada y paredes verticales con capacidad para 13,5 metros cúbicos. Para ello se dispone de una chapa de acero de grosor uniforme. Calcular las dimensiones del depósito para que el gasto en chapa sea el menor posible. 7. El propietario de un edificio tiene alquilados los 40 pisos del mismo a un precio de 600 € cada uno. Por cada 60€ que el propietario aumenta el precio observa que pierde un inquilino. ¿a qué precio le convienen alquilar los pisos para obtener la mayor ganancia posible?(Ayuda: llamar x = nº de 60 € que aumenta o lo que es lo mismo el nº inquilinos perdidos.)9.- A partir de una cartulina cuadrada de 60 cms de lado se va a construir una caja de base cuadrada, sin tapa, a base de recortar cuatro cuadrados iguales en las esquinas de la cartulina y doblando después de la manera adecuada. Un observador indica que la caja de más capacidad se obtendrá si los cuadrados eliminados tienen 10 cm. de lado. Decidir si la observación es correcta o no. Telefono