Magnitudes vectoriales y operaciones: producto escalar y vectorial

Magnitudes y Operaciones Vectoriales

Definición de un Vector

Un vector se define como un segmento de línea dirigido que tiene magnitud (longitud) y dirección. Se representa comúnmente mediante una flecha, donde la longitud de la flecha representa la magnitud del vector y la punta de la flecha indica su dirección.

Componentes de un Vector

Un vector en un sistema de coordenadas cartesiano se puede descomponer en sus componentes a lo largo de los ejes de coordenadas. Por ejemplo, en un espacio bidimensional, un vector ā se puede representar como ā = (ax, ay), donde ax es la componente a lo largo del eje x y ay es la componente a lo largo del eje y.

Magnitud de un Vector

La magnitud de un vector ā, denotada como |ā|, se calcula utilizando el teorema de Pitágoras:

|ā| = √(ax² + ay²)

Dirección de un Vector

La dirección de un vector ā se puede especificar mediante el ángulo α que forma con el eje x positivo. Este ángulo se puede calcular utilizando la función tangente inversa:

α = tg⁻¹(ay / ax)

Representación Polar de un Vector

Un vector también se puede representar en forma polar, utilizando su magnitud |ā| y su ángulo de dirección θ:

ā = (|ā|u, θ°)

donde u es un vector unitario en la dirección de ā.

Vector Unitario

Un vector unitario es un vector que tiene una magnitud de 1. Se puede obtener dividiendo un vector por su magnitud:

ā -> â = ā / |ā|

Producto Escalar

El producto escalar (o producto punto) de dos vectores ā y ƃ se define como:

ā ⋅ ƃ = |ā||ƃ|cosα

donde α es el ángulo entre los dos vectores.

Interpretación Geométrica del Producto Escalar

El producto escalar también se puede interpretar como la proyección de un vector sobre otro, multiplicada por la magnitud del segundo vector.

Producto Vectorial

El producto vectorial (o producto cruz) de dos vectores ā y ƃ se define como:

ā x ƃ = |ā||ƃ|senαǔ

donde α es el ángulo entre los dos vectores y ǔ es un vector unitario perpendicular al plano formado por ā y ƃ, cuya dirección se determina por la regla de la mano derecha.

Interpretación Geométrica del Producto Vectorial

La magnitud del producto vectorial representa el área del paralelogramo formado por los dos vectores. La dirección del producto vectorial es perpendicular al plano del paralelogramo.

Teorema del Coseno

El teorema del coseno relaciona la longitud de los lados de un triángulo con el coseno de uno de sus ángulos:

a² = b² + c² - 2bc cosα

donde a, b y c son las longitudes de los lados del triángulo y α es el ángulo opuesto al lado a.

Producto Escalar y Vectorial en Coordenadas Cartesianas

En un sistema de coordenadas cartesiano tridimensional, el producto escalar y el producto vectorial se pueden calcular de la siguiente manera:

Producto Escalar

ā ⋅ ƃ = (axbx + ayby + azbz)

Producto Vectorial

ā x ƃ = (aybz - byaz)î - (axbz - bxaz)ĵ + (axby - bxay)k

donde î, ĵ y k son los vectores unitarios a lo largo de los ejes x, y y z, respectivamente.