Lógica Proposicional: Conceptos, Simbolismo y Tablas de Verdad

Lógica Proposicional

Definiciones Básicas

Proposición: Segmento lingüístico que puede ser valorado en términos de verdadero o falso.

Tipos de Proposiciones

• Simples o Atómicas: Enunciado declarativo mínimo.
• Compuestas o Moleculares: Compuesta por dos o más proposiciones simples.

Simbolismo Proposicional

Cada nivel de la lógica tiene sus propios instrumentos simbólicos. En la lógica proposicional se utilizan:

• Variables Proposicionales: Letras del alfabeto (P-U) que representan proposiciones.
• Conectivas Lógicas: Símbolos que unen proposiciones.
• Signos de Puntuación: Paréntesis, corchetes, etc. para determinar el orden de las operaciones.

Argumentaciones

Segmento lingüístico en el que de la posición de subsegmentos iniciales se sigue la posición de un subsegmento final.

Conectivas Lógicas

Son entendidas como funciones veritativas que operan sobre las proposiciones.

Principales Conectivas de Orden Dos

• Disyunción Inclusiva (v): Solo es falsa cuando sus componentes también lo son. Se lee "o".
• Conjunción (^): La proposición es verdadera solo cuando sus componentes lo son. Se lee "y".
• Disyunción Exclusiva (_): Solo es verdadera cuando los valores de verdad de sus componentes son distintos. Se lee "o bien..., o bien...".
• Condicional (→): Solo es falsa cuando el antecedente es verdadero y el consecuente es falso. Se lee "si...entonces...".
• Bicondicional (↔): Es verdadera cuando los valores de verdad de sus componentes son iguales. Se lee "...si y solo si...".

Definiciones Fundamentales

• Tautología: Proposición que siempre es verdadera, independientemente de los valores de verdad de sus componentes. Ejemplo: ¬(p^ ¬p).
• Contradicción: Proposición que siempre es falsa. Ejemplo: P^ (q^¬p).
• Consistencia o Indeterminación: Su verdad o falsedad depende de los valores de verdad de sus componentes. Ejemplo: (p-> q) v ¬p.

Tablas de Verdad

Herramienta para determinar el valor de verdad de una proposición compuesta.

Pasos para construir una tabla de verdad:

1. Se halla la tabla de la proposición afectada por la conectiva de menor dominancia.
2. Se continúa hallando la tabla correspondiente a las otras conectivas, en orden de dominancia creciente.
3. Se termina el proceso al hallar la tabla de la conectiva más dominante, que da el valor de la proposición total.

Implicación y Equivalencia

Implicación (=>)

Proposición condicional tautológica. No puede suceder que el antecedente sea verdadero y el consecuente falso.

Equivalencia (<=>)

Bicondicional tautológico.

Enunciados Equivalentes

Dos proposiciones son equivalentes si tienen la misma tabla de verdad. Se pueden sustituir entre sí (Principio de Sustitución).

Pruebas de Validez mediante Tablas de Verdad

Un razonamiento es válido si, cuando las premisas son verdaderas, la conclusión también lo es. Se construye una tabla de verdad para la proposición que resulta de unir las premisas mediante conjunciones y formar el antecedente de un condicional cuya consecuente es la conclusión. Si la tabla resultante es una tautología, el razonamiento es válido.

Prueba Formal de Invalidez

1. Se asignan valores de verdad a las proposiciones de la conclusión de modo que esta sea falsa.
2. Se intenta asignar valores de verdad a las proposiciones de las premisas para que todas sean verdaderas.
3. Si se puede hacer que la conclusión sea falsa y todas las premisas verdaderas, la deducción es inválida. En caso contrario, es válida.