Logaritmos, Polinomios y Ecuaciones: Conceptos Clave y Resolución

Logaritmos

Log: Sea un número real positivo (d) y distinto de 1, y m un número real positivo. El logaritmo en base a de m es el exponente al que hay que elevar a para obtener m. lg_a m = x ↔ a^x = m.

Propiedades:

• lg_a a = 1
• lg_a 1 = 0
• lg_a a^y = y

Propiedades con demostración:

Logaritmo del producto: lg_a(m · n) = lg_am + lg_an

Demostración:

lg_a m = x → a^x = m; lg_a n = y → a^y = n

lg_a(m · n) = lg_a(a^x · a^y) = lg_a a^x+y = x + y = lg_am + lg_an

Logaritmo del cociente: igual a la diferencia de logaritmos.

Demostración:

lg_a m = x → a^x = m; lg_a n = y → a^y = n

lg_a(m/n) = lg_aa^x/a^y = lg_aa^x-y = x - y = lg_am - lg_an

Logaritmo de una potencia: producto del exponente por el logaritmo de la base.

Demostración:

lg_am^ά = x → a^x = m^ά

lg_a(m^ά) = lg_a(a^x)^ά = lg_aa^{x · ά} = x · ά = ά · lg_am

Polinomios

Expresión algebraica: Combinación de números y letras unidas por operaciones aritméticas.

Polinomio: Suma de monomios denominados términos.

Valor numérico: De un p(x) para que x = ά sea el número que se obtiene al calcular la expresión numérica resultante al sustituir x por el número ά.

Un número real es la raíz de p(x) si p(x) es = 0.

Teorema del resto: El resto de dividir p(x) entre x-a es el valor numérico de p(x) cuando x=a.

Demostración:

p(x) = (x-a) · c(x) + r. Sustituyendo P(x) por a → p(a) R = p(a).

Consecuencia: Si p(a) = 0, divide exactamente P(x) = (x-a) · c(x) factor de p(x). Si p(a) = la raíz de p(x) entonces p(x-a) es factor de p(x).

Factorización del polinomio: Es escribirlo como producto de factores de grado el más pequeño posible (≥1)

Ecuaciones Cuadráticas

P 2º: Las raíces son las soluciones de la ecuación ax² + bx + c = 0. Si el discriminante (D) es un número positivo, las raíces del p(x) serían x₁ y x₂. Si el D es = 0, solución doble.

P 3º: Si sus raíces son enteras, son divisores del término independiente.

P número: Por tanteo se localiza una de las raíces del polinomio.

Regla de Ruffini

Ecuaciones

Ecuación: Igualdad entre expresiones algebraicas.

Variable de la ecuación → Incógnita.

Solución de la ecuación: Consiste en un valor para cada incógnita que verifique la igualdad, de manera que al sustituir los valores numéricos coinciden. Resolver una ecuación es calcular todas sus soluciones.

Tipos de ecuaciones:

• Polinómicas: El grado de la ecuación es el mayor de los grados de los polinomios que la componen. Ejemplo: 3x - xy = 7 (x - 1). Grado 2.
• Racionales: Las expresiones algebraicas son iguales a la fracción algebraica. Ejemplo: 3/x + 1/x² = 3 - x.
• Irracionales: Alguna expresión algebraica → la incógnita aparece en el radicando de alguna raíz. Ejemplo: ⁴√10x² + 9 = √x - 1.
• Exponenciales: Cuando las incógnitas aparecen en algún exponente. x² → exponencial. 2^x → exponencial. x^x → potencia y exponencial.
• Logarítmicas: La incógnita aparece en el argumento de alguna razón trigonométrica.

Ecuaciones de 2º grado:

• Incompleta: Cuando b = 0 o c = 0 o b = c = 0.
• Completa: b, c ≠ 0
• Suma: x₁ + x₂ = -b/a
• Producto: x₁ · x₂ = c/a

Sistemas de Ecuaciones

Sistema de ecuaciones: Conjunto de 2 o + ecuaciones que han de verificarse simultáneamente.

Solución del sistema: Es una solución común a todas las soluciones, consiste en tantos números reales como incógnitas. Dos sistemas son equivalentes cuando tienen la misma solución.

Sistema lineal: 1º grado. Pueden ser:

• Compatibles: Solución.
• Determinados: 1 solución.
• Indeterminados: ∞ soluciones.
• Incompatibles: No solución.

Sistemas no lineales: Alguna de sus ecuaciones no sea de 1º grado. Sea un sistema exponencial, Si hay una ecuación irracional (raíz), Si hay una ecuación logarítmica.

Sistemas lineales con 3 incógnitas (método de Gauss):

• Sistema escalonado: Sistema en el que cada ecuación tiene alguna incógnita menos que la anterior. Se resuelve despejando en la ecuación – de número de incógnitas y sustituyendo hacia arriba.
• Método de Gauss: Consiste en obtener mediante eliminación de incógnitas un sistema escalonado equivalente al sistema inicial (x reducción).