Límites, Continuidad y Teoremas Matemáticos

Límite de una función

Una función f(x) tiene límite finito L cuando x tiende al valor “a” si y solo si, la función menos el límite en valor absoluto se puede hacer tan pequeño como se quiera con solo tomar valores de x próximos al valor a. Interpretación geométrica: Apreciamos que prefijado un valor positivo de € encontramos los valores positivos fi, que es el radio del entorno reducido del valor “a”, si tomamos un valor de x perteneciente al dominio de la función y al entorno reducido de a, observamos que el valor de su ordenada es decir f(x) menos el valor del límite es menor en valor absoluto que €. A destacar que a medida que tomamos valores de x mas próximos a los valores de f(x) se acercan al límite L de la función.

Propiedades de los límites

1. Unicidad del límite: Si una función tiene límite finito cuando x tiende al valor “a” ese límite es único.
2. Conservación del signo: Si el límite de una función es finito y mayor que cero es decir positivo existirá al menos un punto en el entorno reducido del punto x=a en donde la función sea mayor que cero, de la misma manera podemos decir que si el límite de la función es finito y menor que cero existirá al menos un punto del entorno reducido del punto x=a tal que la función sea menor que cero.
3. Confrontación de límites: Si f(x), g(x) y h(x) son funciones definidas en el mismo conjunto domino y además sucede en un entorno reducido del punto a que: lim x->a f(x)=L y lim x->a H(x)=L
4. Límite de una función constante: el límite de una constante es la misma constante.
5. Límite de la suma de funciones: El límite de una suma de funciones es igual a la suma de los límites de dichas funciones siempre y cuando estos límites existan.
6. Límite del producto de una función por una constante: es igual al producto de la constante x el límite de la función si este existe.
7. Límite del producto de funciones: es igual al producto de los límites de dichas funciones si estos límites existen.
8. Límite del cociente de funciones: es igual al cociente de los límites de ambas funciones siempre y cuando estos límites existan y el límite de la función del denominador sea distinto de 0.
9. Función elevada a otra función: el límite de una función elevada a otra función es igual al límite de la función de la base elevada al límite de la función del exponente si estos límites existen.

Infinitesimos: se dice que una función f(x) es infinitesimo en x=a cuando el límite de la función f(x) cuando x tienda al valor “a” es igual a 0. Propiedades/operaciones: 1. La suma de dos infinitesimos en un punto da como resultado otro infinitesimo en el mismo punto. 2. El producto de un escalar por un infinitesimo en un punto da otro infinitesimo en el mismo punto si k=0 queda probado de inmediato. 3. El producto de dos infinitesimos en un punto da como resultado otro infinitesimo en el mismo punto. 4. El cociente de dos infinitesimos en un punto tiene como resultado tres posibles: a. será 0 cuando el infinitesimo del numerador es de mayor orden infinitesimal que el denominador b. será infinito cuando el infinitesimo del denominador es de mayor orden infinitesimal que el numerador. c. será una constante k si ambos inifinitesos son del mismo orden infinitesimal si k=q se denominan infinitesimos equivalentes.

Continuidad: Continuidad de una función en el punto: Sea f(x) una función y “a” un punto de acumulación de su dominio, f(x) es una función continua si y solo si: 1. la función está definida en el punto de abcisa x=a 2. el límite de f(x) con x tendiendo al valor a existe y vale L y es finito. 3. la función en el punto y el límite son iguales.

Cómo la continuidad se basa en el concepto del límite, puede darse también la definición utilizando entornos convenientes de a y de f(a). Discontinuidad: Si no verifica la definición de continuidad en un punto “a”, la función es discontinua en a. Esto puede suceder si no cumple cualquiera de las 3 condiciones dadas por definición. Existen dos clases de discontinuidades: 1. Discontinuidad evitable: se puede presentar dos casos a saber: a. la función tiene límite finito en x=a pero no está definida en dicho punto. b. la función está definida en el punto, existe límite finito con x tendiendo al valor a, pero ambos son distintos. 2. Discontinua esencial: a. la función no tiene límite porque los laterales son distintos, es decir la función presenta un salto finito en el punto de abcisa x=a. b. la función tiene límite con x tendiendo al valor de a pero se encuentra en el infinito, es decir la función presenta una av en dicho punto. se dice que la función presenta un salto infinito en el punto de abcisa x=a.

Condición necesaria y suficiente para la existencia de un máximo y un mínimo: si f(x) es derivable en un punto x0 interior a su dominio y tiene extremo relativo en dicho punto, entonces, f’(x0)=0. Demostración: al ser f(x) derivable en x0, es decir que f’(x0) existe y es un número real caben 3 posibilidades: 1- f’(x0)> 0 sería estrictamente creciente. 2. f’(x0)<0 sería estrictamente decreciente. 3. f’(x0)=0 esta es la única posibilidad que existe es la condición necesaria pero no suficiente.

Teorema de Rolle: Sea f(x) una función continua en el intervalo cerrado [a;b] y derivable en (a;b). es decir puede tomar los puntos a y b y se puede derivar en todos los puntos menos en su b. además la función definida en a y b sean iguales, va a existir un punto donde la derivada va a ser 0. Simbólicamente: f(x) es continua en el intervalo [a;b] , derivable en (a;b) f(a) = f(b). Existen 3 casos: Caso 1: si f(a) y f(b) coinciden con los extremos del intervalo, la representación sería: en este caso la función es constante en [a,b], luego tomando un punto “c” cualquiera dentro del intervalo (a;b) y recordando q la derivada de una constante es cero tenemos que: f’(c) = 0. Caso 2: Sipongamos que o bien f(a) o bien f(b) no coincide con los extremos a o b. Supongamos sin pérdida de generalidad que a= f(a) y f(b) distinto de b. Entonces: de aquí obtenemos como conclusión que en el punto de las coordenadas (f(b), M) la función tiene un máximo absoluto, por lo tanto, dicho punto es también un máximo relativo. Luego por la condición necesaria para la existencia de extremos relativos en funciones derivable tenemos que: f’(f(b))=0. Caso 3: Si fa y fb no coinciden con los extremos a o b, entonces son ambos interiores y luego se desprenden del caso 2. se cumple la condición necesaria

Teorema o regla de Barrow: Tenemos una función y=f(x) continua e integrable en el intervalo cerrado [a;b] y necesitamos encontrar el área bajo la curva entre el eje x y las rectas x=a y x=b. Esta regla nos permite calcular una integral definida por aplicación de una primitiva y se basa en si dos funciones tienen igual derivada, ambas difieren en una constante entonces:

Series geométricas: Se llama así a la serie cuyos elementos se obtienen multiplicando el término anterior por una constante q llamada razón de la serie. Si queremos saber si una serie es o no geométrica y no tenemos la fórmula, solo tenemos los términos, debemos dividir un término cualquiera dividido el término anterior y así sucesivamente con los demás términos. Si da como resultado un mismo número es decir una constante esto quiere decir que se trata de una serie geométrica. Si dividimos a.q dividió lo anterior que es a y simplificamos a nos queda q.