Leyes de Newton, Kepler y Campos Gravitatorios: Conceptos y Aplicaciones

Ley de Gravitación Universal de Newton

La ley de Gravitación Universal expresa que dos partículas se atraen mutuamente con una fuerza directamente proporcional al producto de sus masas e inversamente proporcional al cuadrado de la distancia que las separa.

• -F12 = Fuerza ejercida por la partícula m1 sobre la partícula de masa m2
• -F21 = Fuerza ejercida por la partícula de masa m2 sobre la partícula de masa m1
• -G = Constante de gravitación universal de valor 6,67 · 10^-11 Nm²/Kg²
• -m1 y m2 = masa de las partículas
• -r = distancia entre partículas
• -u1 = vector unitario en la dirección de la recta que une las dos partículas, y con sentido de la partícula 1 a la 2
• -u2 = vector unitario en la dirección de la recta que une las dos partículas, y con sentido de la partícula 2 a la 1

Características de las fuerzas gravitatorias

• La dirección del vector fuerza es la de la recta que une las dos masas. El signo menos que aparece en la expresión de la fuerza indica que los vectores F12 y u1, al igual que los vectores F21 y u2, tienen sentidos contrarios. Es decir, las fuerzas gravitatorias siempre son atractivas.
• Son fuerzas a distancia. No es preciso que exista ningún medio material entre las masas para que dichas fuerzas actúen.
• Siempre se presentan a pares. Si la partícula 1 atrae a la partícula 2 con una fuerza F12, la partícula 2, a su vez, atrae a la partícula 1 con una fuerza F21. Ambas fuerzas tienen el mismo módulo y la misma dirección, pero en sentidos contrarios. Son fuerzas de acción y reacción.
• El valor de la constante de gravitación universal, G, es tan pequeño que, a menos que alguna de las masas sea muy grande, la fuerza de atracción es inapreciable.

Concepto de Campo: Llamamos campo a la perturbación real o ficticia del espacio determinada por la asignación a cada punto del valor de una magnitud.

Intensidad del Campo Gravitatorio: La intensidad del campo gravitatorio, g, en un punto del espacio es la fuerza que actuaría sobre la unidad de masa situada en ese punto.

Campo gravitatorio de una masa puntual o esférica: Para determinar el campo gravitatorio creado por una masa puntual M, situamos una masa de prueba m en un punto P del espacio a una distancia r de la masa puntual M. El campo gravitatorio en el punto P será la fuerza por unidad de masa.

Donde u es un vector unitario en la dirección de la recta de unión de la masa M en el punto P y con sentido de la masa M al punto P.

Campos de fuerza conservativos y no conservativos. Energía potencial gravitatoria. Potencial gravitatorio de una masa puntual (o esférica). Energía mecánica total. Principio de conservación de la energía

Un campo de fuerzas es conservativo si el trabajo que realizan las fuerzas del campo para trasladar una partícula de un punto A a otro punto B depende de los puntos inicial y final, pero no del camino seguido.

El trabajo que realiza el campo en una trayectoria cerrada es cero, ya que el trabajo toma el mismo valor si se calcula por los caminos I y II.

El potencial gravitatorio en un punto del espacio es el trabajo que realiza el campo gravitatorio para trasladar la unidad de masa desde dicho punto hasta el infinito.

El nombre de fuerzas conservativas obedece a que, si sobre un cuerpo únicamente actúan fuerzas conservativas, su energía mecánica se conserva constante.

Leyes de Kepler. Enunciados. Deducción de la 3ª ley para órbitas circulares, a partir de la Ley de Gravitación

El astrónomo alemán J. Kepler (1571-1630) dedujo entre los años 1600 y 1620 las leyes del movimiento planetario, a partir de las observaciones astronómicas del danés Tycho Brahe (1546-1601).

1ª Ley de Kepler

Todos los planetas se mueven en órbitas elípticas con el Sol situado en uno de sus focos.

Se deduce que las órbitas son planas a partir de la conservación de la dirección angular de los planetas. Las fuerzas gravitatorias son fuerzas centrales. Su dirección es igual a la del radio. Por eso el momento de las fuerzas con respecto al sol es NULO y el momento angular de un planeta es constante. M=0 L=cte

Momento angular: L=rmv

• perpendicular a los vectores r y v
• La dirección de L es constante.
• v y r están siempre en el mismo plano (órbita del planeta). Una fuerza de atracción central da lugar a un movimiento uniforme.

2ª Ley de Kepler

La recta que une un planeta con el Sol barre áreas iguales en tiempos iguales. Esta ley se deduce de la conservación del módulo del momento angular de los planetas.

Módulo del momento angular:

| L | = rmv = rmv senφ= rmv. ds/dt

| L |= (rmr dφ)/ dt= mr²(dφ)/ dt

Área barrida de un sector circular:

dA= (r d s)/2=(r r dφ)/ 2=(r² dφ) /2

Comparación de ambas expresiones:

L=2m. dA/dt L es constante, también lo es el cociente de dA/dt (velocidad areolar) que mide la velocidad a la que se barren las áreas.

3ª Ley de Kepler

El cuadrado del periodo del movimiento de un planeta es directamente proporcional al cubo de la distancia media del planeta al Sol.

T²=Cr³ Obtenemos la definición del período de revolución (T) y la expresión de velocidad orbital (v) T=2𝝅R/v ; v=√GM/R

Para deducir la relación entre el período y la velocidad orbital sustituimos la expresión de v en la de T y elevamos al cuadrado:

T²=4𝝅²/GM .R³ Gracias a la ley, podemos determinar las masas de los planetas que tienen al menos un satélite cuyo periodo de revolución y su radio orbital se conocen.

La masa del planeta se deduce directamente de la 3ª ley M=4  π^2 r³ /(G T²)

Líneas de fuerza y superficies equipotenciales en el campo gravitatorio creado por una masa puntual (o esférica)

Un campo de fuerzas como el gravitatorio puede representarse de forma figurativa por sus líneas de fuerza, o líneas de campo, y por sus superficies equipotenciales.

Las líneas de campo/fuerza se trazan de modo que, en cada punto, el vector de intensidad del campo gravitatorio es tangente a las líneas de campo y tiene el mismo sentido que éstas.

Por otro lado, se trazan de modo que la densidad de las líneas de campo sea proporcional al módulo del campo gravitatorio. Lo que quiere decir que el campo gravitatorio es más intenso en aquellos lugares en los que las líneas de campo están más juntas.

Al unir los puntos en los cuales el potencial gravitatorio tiene el mismo valor, podemos obtener una serie de superficies llamadas superficies equipotenciales.

• Las superficies equipotenciales son perpendiculares a las líneas de campo en cualquier punto.
• El trabajo que realiza el campo gravitatorio para trasladar una masa de un punto a otro de la misma superficie equipotencial es nulo.

W= m(Va-Vb)=0

• Para una masa puntual, el potencial toma el mismo valor en los puntos situados a la misma distancia de la masa. Por tanto, las superficies equipotenciales son esferas concéntricas con centro en la propia masa.

Campos magnéticos producidos por corrientes. Ley de Biot-Savart en los siguientes casos: a) corriente recta e infinita; b) corriente circular (espira)

En 1820 H.C. Oersted descubrió que una corriente eléctrica desviaba la aguja imantada de una brújula. Esta experiencia puso de manifiesto que electricidad y magnetismo están estrechamente relacionados.

Corriente rectilínea indefinida

Una corriente rectilínea indefinida crea un campo magnético en un punto situado a una distancia del hilo conductor.

Dividimos el hilo en pequeños elementos de corriente Idl. Según la ley de Biot y Savart, la contribución de un elemento de corriente es:

La contribución al campo de cada elemento de corriente tiene la misma dirección, tangente a una circunferencia centrada en el hilo conductor. El campo total se podrá calcular sumando los módulos de todas las contribuciones.

El elemento de longitud dl coincide con dz(dl=dz) y se relaciona con el ángulo .

Sustituimos estas expresiones en el campo magnético y sumamos todas las contribuciones: B=μ₀ .I/2πa

La dirección de B es perpendicular al hilo conductor y al segmento a, y su sentido viene determinado por la regla de la mano derecha.

Corriente circular

Dividimos la espira en pequeños elementos de corriente I d l. Según la ley de Biot y Savart, la contribución de un elemento de corriente es:

dB=4· IdluR²

(B, l y u vectores)

La contribución de cada elemento de corriente al campo magnético tiene la misma dirección y sentido. Por tanto, el campo magnético total se podrá calcular sumando los módulos de todas las contribuciones:

B=0I2R

Donde hemos tenido en cuenta que la integral de d l a lo largo de toda la espira es su longitud: 2πR

La dirección de B es perpendicular al plano de la espira y su sentido viene determinado por la regla de la mano derecha.

a de la mano derecha.

Corriente circular 

Dividimos la espira en pequeños elementos de corriente I d l. Según la ley de Biot y Savart, la contribución de un elemento de corriente es: 

dB=4· IdluR2

(B, l y u → vectores)

La contribución de cada elemento de corriente al campo magnético tiene la misma dirección y sentido. Por tanto, el campo magnético total se podrá calcular sumando los módulos de todas las contribuciones: 

B=0I2R

Donde hemos tenido en cuenta que la integral de d l a lo largo de toda la espira es su longitud: 2πR

La dirección de B es perpendicular al plano de la espira y su sentido viene determinado por la regla de la mano derecha.