Kriging: El Mejor Estimador Lineal Insesgado para el Modelamiento de Recursos Mineros

Kriging: Una Introducción

Kriging es una colección de técnicas de regresión lineal que minimizan la varianza de estimación a partir de un modelo de covarianza (R. Olea, 1991). Es considerado el mejor estimador lineal insesgado, "mejor" en el sentido del error de mínimos cuadrados para un modelo de covarianza/varianza dado. Considera los residuos como la resta entre los valores de los datos y una constante desconocida, base del variograma.

Kriging Simple

El Kriging Simple es un estimador lineal donde se estima el valor (la media se agrega posteriormente). La varianza del error se define como E((Y*(u) – Y(u))^2). Los ponderadores óptimos λi, i=1,…,n (que minimizan la varianza del error) se determinan derivando parcialmente respecto a los ponderadores e igualando a cero. Este sistema de n ecuaciones con n ponderadores es el sistema de Kriging Simple (KS).

Propiedades del Kriging Simple:

• Solución única si la matriz de covarianza es definida positiva (razón para modelar el variograma con modelos válidos).
• Estimador insesgado (por construcción).
• Minimiza la varianza de estimación.
• Interpolador exacto.

Resumen:

• Asume media constante y conocida.
• Base de métodos de simulación.
• Estima el valor sobre un bloque.
• No se usa en la práctica para estimar.

Propiedades del Kriging Simple:

• La varianza se calcula previamente (se requiere conocer el variograma), útil para definir grillas óptimas de exploración y categorización de recursos.
• Considera: geometría del volumen a estimar, distancia de la información, configuración de los datos, y continuidad estructural de la variable.
• El efecto suavizador es predecible.

Kriging Ordinario

En la mayoría de los casos, la media es desconocida. El Kriging Ordinario es un estimador lineal que no la considera conocida. Impone la condición de insesgo: minimiza la varianza con la suma de ponderadores igual a 1.

Efectos a Considerar

Efecto de Distancia, Efecto Pantalla, Anisotropía, Declusterización, Distancia y Cambio en Efecto Pepita.

Validaciones Cruzadas

Se usan para validar los parámetros de kriging. Los criterios son: media de compósitos igual a la media de puntos estimados (sesgo global), medias condicionales (sesgo condicional), varianza (estimado-real) baja, y distribución de errores estandarizados centrada en 0. Esto permite la elección del mejor plan de kriging.

Plan de Kriging

Define los datos a usar en la estimación. La vecindad móvil usa datos cercanos al sitio/bloque a estimar. Se usa una vecindad elíptica (2D) o elipsoidal (3D) orientada según la anisotropía del variograma. Se divide la vecindad en octantes (3D) y se buscan datos en cada sector. Los radios de la elipse/elipsoide se definen para obtener suficientes datos para la estimación.

Validación de Parámetros de Kriging

Para validar el modelo de variograma y la vecindad, se usan: Validación cruzada (estimar cada dato con los restantes) y Jack-knife (dividir la muestra y estimar una parte con la otra). Se realiza un estudio estadístico de los errores para evaluar la precisión y el sesgo del kriging.

Criterios de Validación:

• Medias de errores y errores estandarizados cercanas a cero (estimador sin sesgo).
• Varianza de errores baja (estimador preciso).
• Varianza de errores estandarizados cercana a 1 (variograma cuantifica la incertidumbre).
• Regresión entre valores reales y estimados cercana a la diagonal (insesgo condicional).

Modelamiento de Recursos Mineros

En el modelamiento de recursos mineros, se utiliza la estimación para obtener un mapa suave. Kriging, como mejor estimador lineal insesgado, se usa en la construcción de modelos de bloques.