Introducción a la Lógica Formal: Conceptos y Fundamentos
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Introducción a la Lógica Formal
La lógica formal se centra en la forma de los razonamientos, no en su contenido. Aristóteles es considerado el padre de la lógica formal, ya que fue el primero en formalizarla. La lógica formal es un lenguaje artificial, similar al matemático, y se divide en dos ramas principales:
- Lógica de proposiciones
- Lógica de predicados
Lógica de Proposiciones
La lógica de proposiciones utiliza:
- Variables: Letras que simbolizan proposiciones (p, q, r, s, etc.).
- Constantes: Símbolos que representan operaciones lógicas.
Constantes Lógicas
- Negación: ¬ (no)
- Conjunción: ∧ (y)
- Disyunción inclusiva: ∨ (o)
- Disyunción exclusiva: ⊻ (o bien... o bien...)
- Implicación: → (entonces)
- Coimplicación: ↔ (si y solo si)
Se utilizan paréntesis para agrupar proposiciones y establecer el orden de las operaciones.
Tablas de Verdad
Las tablas de verdad son un procedimiento para determinar los valores de verdad de proposiciones complejas a partir de los valores de verdad de las proposiciones simples que las componen. Los valores de verdad son las posibilidades de que una proposición sea verdadera (V) o falsa (F).
Ejemplos de Tablas de Verdad
Conjunción (∧)
Solo es verdadera (V) si ambas proposiciones son verdaderas (V).
| P | Q | P ∧ Q |
|---|---|---|
| V | V | V |
| V | F | F |
| F | V | F |
| F | F | F |
Disyunción Inclusiva (∨)
Siempre es verdadera (V), excepto cuando ambas proposiciones son falsas (F).
| P | Q | P ∨ Q |
|---|---|---|
| V | V | V |
| V | F | V |
| F | V | V |
| F | F | F |
Disyunción Exclusiva (⊻)
Solo es verdadera (V) cuando una de las proposiciones es verdadera (V) y la otra es falsa (F).
| P | Q | P ⊻ Q |
|---|---|---|
| V | V | F |
| V | F | V |
| F | V | V |
| F | F | F |
Implicación (→)
Solo es falsa (F) cuando la primera proposición (antecedente) es verdadera (V) y la segunda (consecuente) es falsa (F).
| P | Q | P → Q |
|---|---|---|
| V | V | V |
| V | F | F |
| F | V | V |
| F | F | V |
Coimplicación (↔)
Solo es verdadera (V) si ambas proposiciones tienen el mismo valor de verdad (ambas V o ambas F).
| P | Q | P ↔ Q |
|---|---|---|
| V | V | V |
| V | F | F |
| F | V | F |
| F | F | V |
Reglas de Inferencia
- Modus Ponens (MP): Si tenemos una implicación (P → Q) y la afirmación del antecedente (P), podemos concluir el consecuente (Q).
- Modus Tollens (MT): Si tenemos una implicación (P → Q) y la negación del consecuente (¬Q), podemos concluir la negación del antecedente (¬P).
- Regla de Transitividad (RT): Si P implica Q (P → Q) y Q implica R (Q → R), entonces P implica R (P → R).
- Eliminación de la Conjunción (EC) o Simplificación: Si tenemos una conjunción (P ∧ Q), podemos concluir cualquiera de las proposiciones (P o Q).
- Introducción de la Conjunción (IC) o Adición: Si tenemos dos proposiciones (P y Q), podemos concluir su conjunción (P ∧ Q).
- Eliminación de la Disyunción (ED): Si tenemos una disyunción (P ∨ Q) y la negación de una de las proposiciones (¬P), podemos concluir la otra proposición (Q).
- Introducción de la Disyunción (ID): Si tenemos una proposición (P), podemos concluir la disyunción de esa proposición con cualquier otra (P ∨ Q).
- Definición del Bicondicional (DB): (P ↔ Q) es equivalente a (P → Q) ∧ (Q → P).
- Doble Negación (DN): ¬¬P es equivalente a P.