Introducción a la Lógica: Conceptos y Aplicaciones en Educación

¿Qué es la Lógica?

La lógica es la disciplina que estudia la estructura, fundamento y uso de las expresiones del conocimiento humano. Su estudio es importante por varias razones:

1. Formación Matemática

La lógica es una ciencia deductiva que, partiendo de axiomas y definiciones, permite demostrar nuevas proposiciones con ayuda de razonamientos lógicos.

2. Formación como Educadores

Aunque la lógica no aparezca como contenido explícito en los actuales programas de primaria e infantil, constituye un objetivo general de todas las etapas escolares. En educación infantil, la lógica se incluiría dentro del área de comunicación y representación.

3. Formación Cultural

A pesar del uso continuado que hacemos de los razonamientos, en ocasiones resulta difícil descubrir si nuestros razonamientos son correctos, porque no sabemos examinar si las hipótesis se cumplen o no, si existen o no hipótesis alternativas, e incluso dudamos de la bondad de los razonamientos.

Lenguaje Natural y Lenguaje Lógico

Muchos errores de razonamiento se deben a errores lingüísticos. El lenguaje natural puede originar razonamientos falsos por sus imprecisiones. Por ejemplo, al decir "un niño estudioso aprueba siempre", ¿se refiere a algo general o a un niño estudioso determinado? La lógica se propone la creación de un lenguaje preciso. Para ello, es necesario establecer una serie de reglas claras y bien definidas que estén libres de las imprecisiones y vaguedades del lenguaje común.

Elementos de Lógica

Enunciado

Existen dos definiciones:

1. Es un pensamiento expresable por palabra o por escrito.
2. Es la unidad mínima de comunicación.

Un enunciado no es necesariamente verdadero o falso.

Proposición

Es un enunciado al que se le puede asignar un único valor de verdad (verdadero o falso). Se clasifican en:

• Simples: Proposiciones que no pueden descomponerse en otras proposiciones. Las denotaremos con letras minúsculas p, q, r...
• Compuestas: Son las proposiciones que se pueden descomponer en otras simples.
• Constantes: Son las proposiciones que tienen predeterminado su valor de verdad (siempre verdadero o siempre falso). Ejemplo: "El sol da calor".
• Variables: Son las proposiciones que no tienen predeterminado su valor de verdad (puede ser verdadero o falso). Ejemplo: "Ayer llovió".

Tabla de Verdad

Una tabla de verdad de una proposición compuesta es una tabla que recoge los posibles valores de verdad de una proposición compuesta, teniendo en cuenta todas las combinaciones de los valores de verdad de las proposiciones simples que la forman.

Conexiones Fundamentales

Son términos de enlace utilizados para formar proposiciones compuestas a partir de las simples.

Disyunción

Hay dos tipos:

1. Disyunción Lógica o Inclusiva: Dadas dos proposiciones simples p y q, llamaremos disyunción lógica a una proposición compuesta que representamos p ∨ q, que se lee "p o q", y que es verdadera si lo es al menos una de las dos proposiciones.
2. Disyunción Exclusiva: Dadas dos proposiciones simples p y q, llamaremos disyunción exclusiva a una proposición compuesta que representamos p ⊻ q, que se lee "o p o q", y que es verdadera si lo es solamente una de las dos proposiciones.

Negación

Dada una proposición simple p, llamaremos negación de p a otra proposición simple que representamos ¬p, que se lee "no p", y que es verdadera si p es falsa.

Conjunción

Dadas dos proposiciones simples p y q, llamaremos conjunción lógica a una proposición compuesta que representamos p ∧ q, que se lee "p y q", y que es verdadera solo si son verdaderas simultáneamente p y q.

Tautología

Es una proposición compuesta que es verdadera para cualquier valor de verdad de sus componentes. Ejemplo: "Voy a buscarte o no voy a buscarte". Se representa: p ∨ ¬p.

Absurdo

Una proposición compuesta que es falsa para cualquier valor de verdad de sus componentes. Ejemplo: "Te quiero y no te quiero". Se representa: p ∧ ¬p.

Conexiones Secundarias

Son conexiones lógicas muy importantes y que se utilizan con mucha frecuencia en los razonamientos matemáticos. El nombre de "secundarias" se debe a que se pueden obtener a partir de las "fundamentales".

Condicional

Dadas dos proposiciones simples p y q, llamaremos condicional a la proposición compuesta que se representa p → q, que se lee "si p entonces q", y es verdadera en todos los casos salvo cuando p (antecedente) es verdadera y q (consecuente) es falsa.

Implicación Recíproca

Dada una condicional p → q, llamaremos implicación recíproca de la dada a la proposición q → p, que se lee "si q entonces p", y que es verdadera en todos los casos salvo cuando q es verdadera y p es falsa.

Bicondicional

Dadas dos proposiciones simples p y q, llamaremos bicondicional a la proposición compuesta que se representa p ↔ q, que se lee "p si y solo si q", y que es verdadera si son simultáneamente verdaderas las proposiciones p → q y q → p, es decir, si p y q toman el mismo valor de verdad.

Equivalencia Lógica

Dadas dos proposiciones cualesquiera A y B, son lógicamente equivalentes si tienen la misma tabla de verdad. Se simboliza A ⇔ B. Dos proposiciones cualesquiera A y B son lógicamente equivalentes y se simboliza A ⇔ B si la bicondicional A ↔ B es una tautología.

Implicación Lógica

Dadas dos proposiciones cualesquiera A y B, se dice que A implica lógicamente a B y se simboliza así A ⇒ B si la condicional A → B es una tautología.

Esquema General de un Teorema: Tipos

El esquema general de un teorema es una implicación lógica, es decir, H ⇒ T, donde la proposición H (primer miembro de la implicación) se llama hipótesis, mientras que la proposición T (segundo miembro de la implicación) se llama tesis del teorema. Como consecuencia de H ⇒ T, siempre que la hipótesis sea verdadera, la tesis será verdadera.

Tipos de Teoremas

• Teorema Directo: Dado la implicación lógica H ⇒ T.
• Teorema Recíproco del anterior: Dado H ⇒ T, se llama teorema recíproco del anterior al que tiene estructura T ⇒ H.
• Teorema Contrario: Dado H ⇒ T, se llama teorema contrario al que tiene estructura ¬H ⇒ ¬T.
• Teorema Contrarrecíproco: Dado H ⇒ T, se llama teorema contrarrecíproco al que tiene de estructura ¬T ⇒ ¬H.

Condiciones Necesarias, Suficientes y Necesarias-Suficientes

Dadas dos proposiciones cualesquiera A y B:

Si A ⇒ B, diremos que:

• "A es condición suficiente para B"
• "B es condición necesaria para A"

Cálculo de Predicados

Vamos a tener en cuenta distintos elementos de una proposición simple y vamos a distinguir los conceptos de término (parte de una proposición simple con la que se expresa un único objeto, persona...) y predicado (verbo que puede ir acompañado de adverbios, preposiciones, atributos... y que son relativos al término sujeto). Los predicados se simbolizan con letras mayúsculas F, G, H... y los términos mediante minúsculas i, j, k... Las proposiciones compuestas se simbolizan análogamente utilizando las conexiones lógicas estudiadas.

Cuantificador Universal

Operador que transforma una fórmula variable H(x) en una proposición llamada "proposición universal". Se representa con el símbolo ∀, que se lee "para todo". La expresión "ningún x..." también se puede expresar con el cuantificador universal.

Cuantificador Existencial

Es un operador que transforma una fórmula variable H(x) en una proposición llamada "proposición existencial". Se representa con el símbolo ∃, que se lee "existe al menos un".