Introducción a las Funciones: Conceptos y Características

1. Introducción a las Funciones

1.1. Definición

Una función es una relación entre dos variables (x e y) en la que se asocia a cada valor de x un único valor de y. A la variable x se le llama variable independiente y a la y, variable dependiente.

• Variable independiente: Es aquella en la que podemos elegir los valores y se representa en el eje horizontal (eje de abscisas).
• Variable dependiente: Es aquella en la que los valores se obtienen de la variable independiente mediante fórmulas, gráficas o tablas de valores. Se representa en el eje vertical (eje de ordenadas).
• Ejes coordenados: Son dos rectas perpendiculares que se cortan en el punto (0, 0), el origen.

1.2. Formas de expresar una función

• Mediante un enunciado: Ejemplo: Entradas vendidas de un festival y lo que la empresa ganará con ello.
• Mediante una ecuación: Es decir, mediante una expresión algebraica: y = f(x). Ejemplos: f(x) = 2x - 1, y = x² + 3.
• Mediante una tabla de valores:

[Insertar una gráfica de ejemplo]

2. Características de una función

2.1. Dominio y Recorrido

• Dominio: Es el conjunto de valores que puede tomar la variable independiente, es decir, es el conjunto de valores para los que existe la función. Se escribe como Dom(f).
• Recorrido: Es el conjunto de valores que toma la variable dependiente. Se escribe como Im(f).

[Insertar una gráfica de ejemplo con dominio y recorrido marcados]

2.2. Puntos de corte

• Puntos de corte con el eje x: En el eje x están los puntos de la forma (x, 0). Para averiguar los valores de x, en la fórmula de la ecuación sustituimos y = 0 y operamos.
• Puntos de corte con el eje y: En este eje están los puntos de la forma (0, y). Por lo tanto, sustituimos x = 0 y operamos para obtener el valor de y.

2.3. Continuidad y Discontinuidad

• Continuidad: Una función es continua en un intervalo si su gráfica no tiene saltos.
• Discontinuidad: Una función es discontinua si su gráfica presenta saltos, es decir, si su gráfica está formada por varios trozos.
• Tipos de discontinuidades:
  • Discontinuidad evitable: Es aquella en la que solo nos falta un punto o un conjunto finito de puntos para que la función sea continua.
  • Salto finito: Es aquella en la que en los extremos de la discontinuidad existe un salto o distancia que toma un valor finito.
  • Salto infinito: Es aquella en la que una de las ramas de la discontinuidad (o las dos) tienden a más o menos infinito.

[Insertar ejemplos gráficos de los tipos de discontinuidades]

2.4. Crecimiento, Decrecimiento y Constancia

• Crecimiento: Decimos que una función es creciente en un intervalo cuando al aumentar el valor de x aumenta el valor de la función, es decir, el valor de y.
• Decrecimiento: Una función es decreciente en un intervalo cuando al aumentar el valor de x disminuye el valor de la función.
• Constante: Una función es constante en un intervalo si al aumentar el valor de x el valor de y permanece constante, es decir, es el mismo.

[Insertar una gráfica de ejemplo con intervalos de crecimiento, decrecimiento y constancia]

2.5. Máximos y Mínimos

• Máximo relativo: Una función tiene un máximo relativo en x = a si f(a) es el mayor valor que toma la función para todos los valores de x próximos a a.
• Máximo absoluto: Si f(a) es el mayor valor que toma la función, tiene un máximo absoluto en x = a.
• Mínimo relativo: Una función tiene un mínimo relativo en x = a si f(a) es el menor valor que toma la función para todos los valores de x próximos a a.
• Mínimo absoluto: Si f(a) es el menor valor que toma la función, se dice que tiene un mínimo absoluto en x = a.

[Insertar una gráfica de ejemplo con máximos y mínimos]

2.6. Periodicidad

• Periodicidad: Una función es periódica si sus valores se repiten cada cierto intervalo. A la longitud del intervalo se le llama periodo, T. Se cumple que f(x) = f(x + T) = f(x + 2T)...

[Insertar una gráfica de ejemplo de una función periódica]

2.7. Simetría

• Simetría par: Una función es par si cumple f(-x) = f(x) para cualquier valor de su dominio. Estas funciones son simétricas respecto del eje Y.
• Simetría impar: Una función es impar si cumple f(-x) = -f(x) para cualquier valor de su dominio. Estas funciones son simétricas respecto del origen.

[Insertar ejemplos gráficos de funciones con simetría par e impar]