Interpretaciones de la Probabilidad y el Teorema de Bayes

Interpretaciones del Concepto de Probabilidad

Sobre el significado que tiene la probabilidad de un suceso hay una fuerte controversia.

El primer concepto de probabilidad surge en el contexto de los juegos de azar, donde se considera que todos los resultados posibles son equiprobables. Laplace definió la probabilidad de un suceso como el cociente entre el número de resultados favorables a dicho suceso, y el número total de resultados posibles.

Concepto Clásico de Probabilidad

Este concepto clásico de la probabilidad es escasamente aplicable, pues en la mayoría de las circunstancias inciertas es imposible clasificar los posibles resultados en clases igualmente probables. Es fácil aplicarlo al lanzamiento de un dado, pero ya no lo es tanto para determinar la probabilidad de que mañana suba el índice de la bolsa. Incluso no es aplicable cuando el dado está trucado.

Interpretación Frecuentista

Otra interpretación es la frecuentista, según la cual la probabilidad sólo tiene sentido en el marco de un experimento infinitamente repetible. La probabilidad de un suceso será la frecuencia relativa de ocurrencia del suceso en infinidad de pruebas repetidas de ese experimento.

Según esta interpretación, obsérvese que la probabilidad sólo podrá definirse sobre sucesos que estén ligados a los resultados de un experimento repetible. Por ejemplo, podrá aplicarse al lanzamiento de un dado sin necesidad de suponer, de antemano, que el dado no está cargado, puesto que ese dado puede lanzarse indefinidamente, pero no puede aplicarse a sucesos tales como el resultado de las próximas elecciones generales, pues éstas se desarrollarán en unas circunstancias irrepetibles.

Interpretación Subjetiva

La tercera interpretación es la subjetiva, según la cual la probabilidad representa el grado de creencia del observador sobre el estado que adoptará el sistema. Según esta interpretación, en la Teoría de la Decisión, la probabilidad de un estado de la naturaleza representa el grado de creencia del decisor en que acontezca ese estado. Cuanto mayor sea su creencia, mayor será la probabilidad. Obsérvese que admitiendo esta interpretación:

1. Puede definirse la probabilidad de prácticamente cualquier suceso, sin necesidad de que se produzca en el seno de un experimento repetible; ahora sí que puede asignarse una probabilidad a los resultados de las próximas elecciones generales, pues el observador dispondrá de unas creencias sobre los mismos (creencias que estarán basadas en unas informaciones).
2. Como cada uno tiene sus propias creencias, dos observadores distintos pueden asignar probabilidades distintas al mismo suceso. Por tanto, la probabilidad es subjetiva (no objetiva), es más propia del sujeto que observa que del suceso (objeto) observado.

De inmediato surge una cuestión: imaginemos un suceso que se produce en el seno de un experimento repetible, y al que por tanto se le puede asignar una probabilidad frecuentista (objetiva) e imaginemos un observador racional, ¿qué relación existe entre esas dos probabilidades? Inicialmente el decisor podría asignarle una probabilidad que nada tuviera que ver con la frecuencia relativa, pero a medida que va observando los resultados de las sucesivas repeticiones, el observador va revisando sus creencias, y su probabilidad subjetiva se irá aproximando a la objetiva del suceso.

Modificación de las Creencias del Decisor

Las creencias del decisor no son inmutables, sino que cambian constantemente según su poseedor asimila nuevos hechos y acumula evidencia. ¿Cómo debe revisar sus creencias un decisor racional a la luz de una nueva información?

La información extra, aquella de la que no disponía y ahora se incorpora, se expresa mediante la ocurrencia de un suceso B. Antes el decisor tenía unas creencias y después de disponer de esta información tendrá otras; nuestro objetivo consiste en obtener estas nuevas creencias (probabilidades) a partir de aquellas.

La probabilidad condicionada representa perfectamente las nuevas creencias del decisor y se puede utilizar para revisar las probabilidades o creencias iniciales. Suele decirse que P(e_i) es la probabilidad a priori (antes de saber que B ha ocurrido) y P(e_i|B) es la probabilidad a posteriori (después de saber que ha ocurrido B).

El teorema de Bayes proporciona la herramienta para obtener las probabilidades a posteriori:

Suponga que el decisor está considerando una tabla de decisión en la que aparecen los estados e₁, e₂,...,e_n. Sus creencias a priori están reflejadas en las probabilidades P(e₁), P(e₂),...,P(e_n), y si tuviese que tomar una decisión, con ellas calcularía los valores monetarios esperados que le indicarían la acción a tomar.

Pero si antes de tomar la decisión ha ocurrido un suceso B (se tiene nueva información adicional), entonces el decisor deberá construir sus probabilidades a posteriori P(e₁/B),...., P(e_n/B) para calcular con ellas los valores monetarios esperados. Estas probabilidades a posteriori vendrán dadas por el teorema de Bayes, según:

$$P(e_i|B) = \frac{P(B|e_i)P(e_i)}{P(B)} = \frac{P(B|e_i)P(e_i)}{\sum_{j=1}^{n} P(B|e_j)P(e_j)}, i = 1,...,n$$

Obsérvese que para aplicar este teorema hace falta calcular (o conocer) previamente, las probabilidades P(B/e_i), i= 1, 2, …, n, es decir, la probabilidad de ocurrencia del suceso B, bajo cada uno de los estados posibles de la naturaleza. A estas probabilidades se les llama verosimilitudes. Normalmente son conocidas o fáciles de obtener.

He aquí la importancia del teorema de Bayes: describe cómo debemos ir aprendiendo de la experiencia, cómo deben modificarse nuestras creencias, expresadas mediante probabilidades, al incorporar nueva información.