Interacciones Fundamentales: Ejercicios Resueltos de Gravitación, Electrostática y Dinámica

Interacciones Fundamentales: Ejercicios Resueltos

Ejercicio 1: Fuerzas Gravitacionales entre Masas

Enunciado: Dos masas de 5 g se encuentran en los puntos A(-2, 0) y B(2, 0). Calcula la fuerza que ejercen sobre una tercera masa de 5g ubicada en C(0, 3).

Solución:

1. Principio de Superposición: La fuerza total sobre la tercera masa (F₃) es la suma vectorial de las fuerzas individuales ejercidas por las otras dos masas: F₃ = F_1,3 + F_2,3.
2. Cálculo de las Fuerzas Individuales: Utilizamos la ley de gravitación universal: F = G * m_a * m_b / d², donde G es la constante gravitacional, m_a y m_b son las masas y d es la distancia entre ellas. Convertimos las masas a kg: 0.005 kg. Las distancias d_1,3 y d_2,3 se calculan usando el teorema de Pitágoras: d = √(x² + y²).
3. Componentes de las Fuerzas: Calculamos el ángulo α entre la fuerza F_2,3 y el eje y usando la tangente: tg α = cateto opuesto / cateto adyacente. Luego, descomponemos F_2,3 en sus componentes x e y: F_2,3x = F_2,3 * sen α, F_2,3y = F_2,3 * cos α. Dado que α = β (por simetría), los módulos de F_1,3 y F_2,3 son iguales. Las componentes de F_1,3 serán: F_1,3x = -F_2,3x, F_1,3y = F_2,3y.
4. Suma Vectorial: Sumamos las componentes x e y de las fuerzas para obtener la fuerza resultante F₃. Observamos que las componentes x se cancelan, resultando en una fuerza neta en la dirección del eje y.

Ejercicio 2: Fuerzas Gravitacionales en el Eje x

Enunciado: Dos masas de 5 g están en A(2, 0) y B(6, 0). Calcula la fuerza que ejercen sobre una tercera masa en C(5, 0).

Solución: Aplicamos el principio de superposición y la ley de gravitación universal como en el ejercicio anterior. La fuerza resultante estará en la dirección del eje x.

Ejercicio 3: Campo Gravitatorio y Fuerza

Enunciado: Un telescopio orbita la Tierra a una distancia de 6.98 * 10⁶ m de su centro. La masa de la Tierra es M = 5.98 * 10²⁴ kg. a) Calcula el campo gravitatorio terrestre en la posición del telescopio. b) Calcula la fuerza que ejerce la Tierra sobre el telescopio si su masa es 1.16 * 10³ kg.

Solución: a) Usamos la fórmula g = G * M / R². b) Usamos la fórmula F = G * m₁ * M_t / R².

Ejercicio 4: Cuerpo Esférico y Órbita

Enunciado: Un cuerpo esférico de densidad uniforme con diámetro 6 * 10⁵ m presenta una aceleración de gravedad en su superficie de 125 m/s². a) Calcula la masa del cuerpo. b) Si un objeto describe una órbita circular alrededor del cuerpo con un periodo de 12 h, ¿cuál es el radio de la órbita?

Solución: a) Calculamos el radio (R = diámetro / 2) y usamos la fórmula g = G * M / R² para despejar la masa (M). b) Convertimos el periodo a segundos. Usamos la fórmula del periodo orbital T = 2π * R_órbita / v, la igualamos a la fuerza gravitacional y despejamos el radio de la órbita.

Ejercicio 5: Planeta Esférico y Satélite

Enunciado: Un planeta esférico tiene una densidad uniforme de 1.33 g/cm³ y un radio de 71500 km. Calcula: a) La aceleración de la gravedad en su superficie. b) La velocidad de un satélite que orbita el planeta en una órbita circular con un periodo de 73 h.

Solución: a) Convertimos la densidad a kg/m³. Calculamos la masa del planeta usando la fórmula de la densidad (d = m / v) y el volumen de una esfera (v = 4/3 * π * R³). Luego, calculamos la gravedad usando g = G * M / R². b) Convertimos el periodo a segundos. Usamos las fórmulas de la fuerza gravitacional y el periodo orbital para calcular la velocidad del satélite.

Ejercicio 6: Campo y Potencial Eléctrico

Enunciado: Dos partículas con carga +1 μC y -1 μC se encuentran en (-1, 0) y (1, 0) respectivamente. a) Calcula el campo eléctrico en (3, 0). b) Calcula el campo eléctrico en (0, 3). c) Calcula el potencial eléctrico en (3, 0).

Solución: a) Usamos el principio de superposición y la fórmula del campo eléctrico E = k * Q / R². b) Calculamos las distancias, las componentes x e y de los campos y luego sumamos las componentes. c) Usamos la fórmula del potencial eléctrico V = k * q / R.

Ejercicio 7: Muelle en Plano Inclinado

Enunciado: Un cuerpo de 4 kg está sujeto a un muelle en un plano inclinado a 41°. El coeficiente de rozamiento es 0.5 y la constante elástica del muelle es 12 N/m. Calcula cuánto se alarga el muelle.

Solución: Aplicamos la segunda ley de Newton en cada eje. En el eje x: Px - Fe - Fr = 0 (ya que el cuerpo está en reposo). En el eje y: N - Py = 0. Calculamos las componentes del peso (Px = mg * sen α, Py = mg * cos α) y la fuerza de rozamiento (Fr = μ * N). Finalmente, usamos la ley de Hooke (Fe = k * Δx) para calcular el alargamiento del muelle (Δx).