Integrales y geometría diferencial

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Escrito el 16 de Diciembre de 2023 en español con un tamaño de 5,53 KB

Integral de curvilínea

Es aquella integral cuya función es evaluada sobre una curva. En el caso de una curva cerrada en dos dimensiones o del plano complejo, se llama también integral de contorno.

Campo escalar:f:R²→Runcampo escalar, la integral sobre la curvaC(también llamada, integral de trayectoria), parametrizada comor(t)=x(t)i+y(t)j cont $∈$ [a, b], está definida como:
$\int_C f\ ds = \int_a^b f(\mathbf{r}(t)) \|\mathbf{r}'(t)\|\, dt = \int_a^b f(\mathbf{x}(t),\mathbf{y}(t))\sqrt{[\mathbf{x}'(t)]^2+[\mathbf{y}'(t)]^2 }dt$

Campo vectorial

Para F:Rⁿ→Rⁿun campo vectorial, la integral de línea sobre la curva C, parametrizada como r(t) con t { display:inline-block; width:1px; height:1px; margin-left:-1px; margin-right:-1px; padding:0; border:0; } $∈$ [a, b], está definida como:

$\int_C \mathbf{F}(\mathbf{r})\cdot\,d\mathbf{r} = \int_a^b \mathbf{F}(\mathbf{r}(t))\cdot\mathbf{r}'(t)\,dt.$

Integral doble

De una función positiva $f(x)$ de una variable definida en un intervalo puede interpretarse como el área entre la gráfica de la función y el eje x en ese intervalo, la doble integral de una función positiva $f(x,y)$ de dos variables, definida en una región del plano xy, se puede interpretar como el volumen entre la superficie definida por la función y el plano xy en ese intervalo. Al realizar una "integral triple" de una función $f(x,y,z)$ definida en una región del espacio xyz, el resultado es un hipervolumen, sin embargo es bueno notar que si $f(x,y,z)=1$ el resultado se puede interpretar como el volumen de la región de integración. Para integrales de órdenes superiores, el resultado geométrico corresponde a hipervolúmenes de dimensiones cada vez superiores.

$\iint \ldots \int _{\mathbf {D} }\;f(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})\;\mathbf {d} x_{1}\mathbf {d} x_{2}\!\ldots \mathbf {d} x_{n}$

Continuidad: na funciónfdefinida sobre unintervaloIescontinuasi lacurvaque la representa, es decir el conjunto de los puntos (x,f(x)), conxenI, está constituida por un trazo continuo, es decir un trazo que no está roto, ni tiene "hoyos" ni "saltos", como en la figura de la derecha.
El intervaloJdeyes elrango(también conocido comoimagen) def, el conjunto de los valores de y, tomados como y = f(x). Se escribeJ = f(I). Notar que en general, no es igual que elcodominio(sólo es igual si la función en cuestión essuprayectiva.)

Geometría de diferencial

El diferencial se puede tomar en el sentido geométrico como la elevación de la tangente desde el punto en que se toma el diferencial.
Recuérdese que la derivada de la función en el punto es la pendiente de la recta tangente a la función en el punto, como sabemos que la tangente de un ángulo es igual al cociente entre el cateto opuesto (incremento de y) y el cateto contiguo (incremento de x) de un hipotético triángulo rectángulo, sólo hay que despejar el incremento de y que equivale a nuestro diferencial. Vista geométricamente, la elevación se produce verticalmente a partir del punto en que se toma el diferencial. El incremento $Δx$ que se tome representará el alejamiento horizontal que haga desde el punto en cuestión. Así la elevación de la tangente que se obtenga como resultado dependerá del punto en cuestión y del alejamiento horizontal que se tomen,

entre el cateto opuesto (incremento de y) y el cateto contiguo (incremento de x) de un hipotético triángulo rectángulo, sólo hay que despejar el incremento de y que equivale anuestro diferencial

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