Guía Práctica del Método de Rachas y Generadores Aleatorios: Teoría y Aplicaciones

Método de Rachas: Análisis Bajo y Sobre la Media

• Bajo la media: Si el número es menor o igual a 0.5 (media de la uniforme), se asigna un signo negativo (-).
• Sobre la media: Si el número es mayor a 0.5, se asigna un signo positivo (+).

Se analiza el primer número aleatorio. Si es < 0.5, se coloca un signo negativo (-), y así sucesivamente.

Definiciones:

• n1 = números sobre la media.
• n2 = números bajo la media.
• N = n1 + n2 (longitud de la secuencia).
• b = número de rachas o cambios de signo.

Condición para los cálculos: n1 o n2 > 20

Fórmulas:

• Mb = (2 * n1 * n2 / N) + 1/2
• σb^2 = (2 * n1 * n2) * (2 * n1 * n2 - N) / ((N - 1) * N^2)
• Z0 = (b - Mb) / σb

Se busca en la tabla Z(0.10/2) = 1.645. Si el resultado (Z0) es mayor al valor tabulado, se rechaza la hipótesis de aleatoriedad; de lo contrario, se acepta.

Teoría de Generadores Aleatorios

1) Periodo de un Generador

Considere un generador con un periodo aproximado de 2.3 x 10^3.

a) Razón de un Periodo Grande

La razón por la que el periodo es tan grande se debe a que la secuencia final de los números aleatorios surge de la combinación previa de dos generadores. Esto conduce a que el periodo (Wn) aumente considerablemente, ya que para que comience un nuevo periodo, ambas secuencias (Xn e Yn) deben coincidir nuevamente en las semillas iniciales para que se repita el ciclo Wn. Esto consume bastante tiempo, ya que estamos trabajando con dos periodos de diferentes tamaños, por lo que la secuencia final solo comienza un nuevo periodo cuando ambos generadores logran sincronizarse. Es por esta razón que Wn posee un periodo tan grande.

b) Repetición de Números en la Secuencia

Si se repite un número en la secuencia Wn, no implica que a partir de allí comience un nuevo periodo, debido a que este número es producto de otros dos generadores. En ocasiones, estos generadores pueden producir números repetidos en la secuencia final, pero esto no significa que a partir de allí se repita de nuevo la secuencia, lo cual sucede cuando ambos generadores (Xn, Yn) se sincronizan. En conclusión, el hecho de que se repita un número en la secuencia Wn no implica que esta se repita.

Ventajas del Método Bootstrap

2. Ventajas sobre los Métodos Clásicos de Generación

Una de las ventajas del bootstrap es que facilita los cálculos que no se pueden hacer con fórmulas simples como las usadas en los métodos de generación (por medio de las técnicas estadísticas clásicas), teniendo como herramienta importante la ayuda del computador.

Otra ventaja es que este método es particularmente útil cuando los datos no siguen una distribución conocida o cuando simplemente no se quiere hacer el análisis para establecer si estos se ajustan a una distribución en particular.

Pruebas de Generadores Aleatorios

Prueba de Correlación Serial

Este método sirve para probar si hay dependencia entre dos variables calculando su covarianza. Si esta es distinta de cero, entonces son dependientes. Lo inverso no es cierto; si la covarianza es cero, no significa que sean independientes.

En este método se halla la autovarianza Rk con desplazamiento k.

El intervalo de autovarianza al 100(1-alfa)% es:

Esto solo para k mayor e igual que 1. Si k=0 es la varianza de la muestra que se espera sea 1/12.