Guía Completa de Números Complejos, Trigonometría y Derivadas

Números Complejos

Definición

Un número complejo se expresa de la forma a + bi, donde:

• a y b son números reales.
• i es la unidad imaginaria, donde i² = -1.

Operaciones con Números Complejos

Opuesto

El opuesto de un número complejo se obtiene cambiando el signo de la parte real y de la parte imaginaria.

Ejemplo: El opuesto de 2 + 3i es -2 - 3i.

Conjugado

El conjugado de un número complejo se obtiene cambiando el signo de la parte imaginaria.

Ejemplo: El conjugado de 2 + 3i es 2 - 3i.

Trigonometría

Funciones Trigonométricas

En un triángulo rectángulo, las funciones trigonométricas se definen como:

• Seno (sen): Cateto Opuesto / Hipotenusa
• Coseno (cos): Cateto Adyacente / Hipotenusa
• Tangente (tan): Cateto Opuesto / Cateto Adyacente

Teoremas Fundamentales

Teorema del Seno

Teorema del Coseno

Potencias de la Unidad Imaginaria

Para calcular iⁿ, donde n es un número entero, se puede utilizar el siguiente método:

1. Dividir n entre 4.
2. El resto de la división indicará el valor de la potencia:

Derivadas

Definición

La derivada de una función mide la tasa de cambio instantáneo de la función. Gráficamente, la derivada en un punto representa la pendiente de la recta tangente a la gráfica de la función en ese punto.

Reglas de Derivación

Regla del Producto

La derivada del producto de dos funciones u(x) y v(x) es:

(u*v)' = u'*v + u*v'

Regla del Cociente

La derivada del cociente de dos funciones u(x) y v(x) es:

(u/v)' = (u'*v - u*v') / v²

Ecuaciones Trigonométricas

Identidades Trigonométricas

Las siguientes identidades son útiles para resolver ecuaciones trigonométricas:

• sen²(x) + cos²(x) = 1
• tan(x) = sen(x) / cos(x)

Ejemplos de Ecuaciones Trigonométricas

1. sen(x) + cos(x) + tan(x) = 0
2. sen(x) + cos(x) - tan(x) = 1
3. sen(x) - cos(x) - tan(x) = -1
4. sen(x) - cos(x) + tan(x) = 0