Guía Completa de Matrices: Tipos, Operaciones y Cálculo de Inversas

Fundamentos de Matrices: Tipos y Operaciones Esenciales

Tipos de Matrices

• Matriz: Un arreglo rectangular formado por m x n números dispuestos en m filas y n columnas.
• Matriz Fila: Es la que tiene una sola fila.
• Matriz Columna: Es la que tiene una sola columna.
• Matriz Cuadrada: Cuando el número de filas es igual al de columnas.
• Matriz Nula: Es aquella cuyos elementos son todos cero.
• Matriz Diagonal: Es una matriz cuadrada que tiene todos sus elementos iguales a cero, con excepción de los de la diagonal principal.
• Matriz Identidad: Es una matriz diagonal que tiene todos los elementos de la diagonal principal iguales a uno.

Igualdad y Transposición de Matrices

• Igualdad entre Matrices: Dos matrices A y B son iguales si son del mismo orden y sus elementos son idénticos.
• Matriz Transpuesta: Si A es una matriz cualquiera, la transpuesta de A, denotada por A^t, es la matriz cuya primera fila es la primera columna de A, cuya segunda fila es la segunda columna de A, y así sucesivamente.

Adición y Sustracción de Matrices

Para poder sumar o restar matrices, estas deben tener el mismo número de filas y de columnas. Es decir, si una matriz es de orden 3x2 y otra de 3x3, no se pueden sumar ni restar. Esto es así ya que, tanto para la suma como para la resta, se suman o se restan los términos que ocupan el mismo lugar en las matrices.

Operaciones Avanzadas con Matrices

Multiplicación de un Escalar por una Matriz

Si A = (a_ij) es una matriz de orden m x n y *a* es un número real, *a*A es otra matriz B de orden m x n.

Multiplicación de Matrices

El producto anterior es posible solo si el número de elementos de la matriz fila es igual al número de elementos de la matriz columna. Como el resultado dado por (4/3) es una suma de productos, la matriz AB tiene un solo elemento.

Propiedades de la Multiplicación de Matrices

En la multiplicación de matrices, vamos a considerar las siguientes propiedades:

• Multiplicación por Matriz Identidad: Dada una matriz identidad I, de orden m x n, y otra matriz A, de orden n x n, se cumple.
• Propiedad Asociativa: Si A es una matriz m x n, B una matriz n x p y C una matriz p x n, entonces (AB)C = A(BC).
• Propiedad Distributiva: Si A y B son matrices de orden m x n y C es una matriz de orden n x p, entonces: (A + B)C = A(C + BC).
• Propiedad Conmutativa: Si A es una matriz de orden m x n y C es una matriz de orden n x p.

Operaciones Elementales de Filas y Columnas en una Matriz

1. El intercambio de filas y columnas de A.
2. La multiplicación de una fila o una columna por un número (F o C).
3. Multiplicación de una fila o columna por un número, respectivamente.

Inversa de una Matriz Cuadrada

Si A es una matriz cuadrada de N, se define la matriz inversa de A, denotada por A^-1, aquella que hace que se verifique la relación.

Procedimiento para Hallar una Matriz Inversa

1. Forma la matriz inversa de orden n x 2n dado por {A = I} en la cual las primeras n columnas de A y las últimas n columnas son las columnas de la matriz identidad.
2. Usa operaciones elementales por filas para reducir la matriz anterior a la fórmula {Z = B} de manera que las primeras n columnas sean las columnas de I_n.
3. Si aparecen columnas o filas de ceros en parte de la matriz situada a la izquierda de la barra vertical (|), la matriz no admite inversa.
4. Si la matriz tiene inversa, esta estará dada por la matriz B que aparece a la derecha de la barra vertical (|), B = A^-1.