Guía Completa de Conceptos Matemáticos Esenciales: Números, Ecuaciones, Funciones y Geometría

Conceptos Matemáticos Fundamentales

Conjuntos Numéricos

• Números Naturales (N): Sirven para contar: 0, 1, 2...
• Números Enteros (Z): Naturales y sus opuestos: -1, 0, 1...
• Números Racionales (Q): Se pueden escribir en forma de fracción: 2/3.
• Números Fraccionarios: Tienen expresión decimal y pueden ser exactos o periódicos: 2, 2.2, 2.2...
• Números Irracionales: No se pueden escribir en forma de fracción ni como decimales exactos o periódicos. Ejemplo: número pi (π).

Intervalos y Semirrectas

• Intervalo: Segmento de la recta real entre dos extremos *a* y *b*, incluyendo o no los extremos.
• Intervalo Cerrado: a ≤ x ≤ b
• Intervalo Abierto: a < x < b
• Semirrecta: Parte de la recta real con origen en *a*, incluyendo todos los números a la derecha o izquierda de *a*. a ≤ x, > x

Sistemas de Ecuaciones Lineales

Si todas las ecuaciones son de primer grado, pueden ser:

• Compatibles: Tienen solución.
  • Determinados: Una única solución.
  • Indeterminados: Infinitas soluciones.
• Incompatibles: No tienen solución.

Propiedades de los Logaritmos

• log 1 = 0
• No existe el logaritmo de un número negativo.
• log_a (p · q) = log_a p + log_a q
• log_a (p / q) = log_a p - log_a q
• log_a pⁿ = n · log_a p

Cambio de Base en Logaritmos

Ejemplo: log₅ 73 = log 73 / log 5

Funciones

Una función es una aplicación entre dos conjuntos de números, de tal forma que a cada elemento (x) del primer conjunto le corresponde un único elemento (Y) del segundo conjunto.

• Dominio: Conjunto de valores de (x) para los que existe la función.
• Imagen: Conjunto de valores que toma la variable dependiente (y).

Vectores

Dados dos puntos A y B, el vector AB es el segmento orientado que determina A y B, donde A es el origen y B el extremo.

• Vector Equivalente: Mismo módulo, dirección y sentido.

Ecuaciones de la Recta

• Forma Vectorial: (x, y) = (x0, y0) + (v1, v2) · λ
• Forma Paramétrica: x = x0 + v1 · λ, y = y0 + v2 · λ
• Pendiente: m = d2 / d1 o m = -a / b
• Forma Continua: (x - x0) / v1 = (y - y0) / v2
• Forma Punto-Pendiente: y - y0 = m(x - x0)
• Vector Director: d(d1, d2)
• Forma General: (x - x0) · d2 = (y - x1) · d1 (ax + by + c = 0)
• Forma Explícita: y = mx + n (despejar y)

Posiciones Relativas de Dos Rectas

• Coincidentes: (∞ puntos en común): vectores proporcionales, pendientes iguales, ecuación general proporcional.
• Secantes: (1 punto en común): vectores no proporcionales, pendientes distintas, ecuación general no proporcional.
• Paralelas: (ningún punto en común): vectores proporcionales, pendientes iguales, a/a' = b/b' ≠ c/c'.

Formas de Hallar la Pendiente

• m = tg α (si nos dan α)
• m = tg α = v2 / v1 (si nos dan o podemos hallar el vector)
• m = -a / b (si nos dan la ecuación general)
• m = a (si nos dan y = ax + b)

Ecuación de la Circunferencia

(x - a)² + (y - b)² = r² (necesitamos el radio *r* y el centro (a, b))

Fórmula de Herón (Área de un Triángulo)

A = √[p/2 · (p - a) · (p - b) · (p - c)]

Binomio de Newton

(a + b)ⁿ = ∑_i=0ⁿ (n/i) a^n-i bⁱ

Término General del Binomio de Newton

T_m = (n / m-1) x^n-(m-1) · y^m-1

Técnicas de Conteo

• Variaciones (m > n): Influye el orden. V_mⁿ = m! / (m - n)!
• Permutaciones (m = n): Influye el orden. P_n = n!
• Combinaciones (m > n): No influye el orden. C_mⁿ = m! / (n! (m - n)!)
• Variaciones con Repetición: Influye el orden. VR = mⁿ

Dominio de Funciones

• Polinómicas: R
• Racionales: R - {x | denominador = 0}
• Irracionales: {x | radicando ≥ 0}
• Exponenciales: R
• Logarítmicas: {x | argumento > 0}

Tasa de Variación Media (TVM)

TVM [a, b] = (f(b) - f(a)) / (b - a)

Simetría de Funciones

• Par: f(-x) = f(x)
• Impar: f(-x) = -f(x)

Tipos de Funciones

• Lineal: Recta que pasa por el (0, 0).
• Afín: Recta que pasa por el (1, 0).

Teoremas Geométricos

• Teorema de Tales: a'b' / b'c' = ab / bc
• Teorema del Cateto: c² = m · a, b² = n · a
• Teorema de la Altura: h² = m · n

Semejanza de Triángulos

Son semejantes si:

• Ángulos iguales (ya que el otro es recto).
• Catetos proporcionales: a' / a = b' / b = c' / c = k

Identidades Trigonométricas

1 + tg²α = sec²α

Valores Trigonométricos Notables