Geometría Analítica del Espacio: Fórmulas y Conceptos Clave

Distancia entre dos puntos: d=√(x₂-x₁)²+(y₂-y₁)²+(z₂-z₁)²

División de un Segmento en una Razón Dada

Si los extremos de un segmento son P₁(x₁,y₁,z₁) y P₂(x₂,y₂,z₂), las coordenadas P(x,y,z) que dividen este segmento en una razón *r* se hallan mediante:

P tal que P₁P/PP₂ = r

• x = (x₁ + r * x₂) / (1 + r)
• y = (y₁ + r * y₂) / (1 + r)
• z = (z₁ + r * z₂) / (1 + r)

P tal que P₂P/PP₁ = r

• x = (x₂ + r * x₁) / (1 + r)
• y = (y₂ + r * y₁) / (1 + r)
• z = (z₂ + r * z₁) / (1 + r)

Cosenos Directores

Cosenos directores de las rectas determinadas por los puntos P₁(x₁,y₁,z₁) y P₂(x₂,y₂,z₂) en el sentido de P₁ a P₂ son:

• cos α = (x₂ - x₁) / d
• cos β = (y₂ - y₁) / d
• cos δ = (z₂ - z₁) / d

Cosenos directores en el sentido de P₂ a P₁:

• cos α = (x₁ - x₂) / d
• cos β = (y₁ - y₂) / d
• cos δ = (z₁ - z₂) / d

Relación fundamental de los cosenos directores:

cos²α + cos²β + cos²δ = 1

Números Directores

Números directores de una recta L son tres números que son proporcionales a los cosenos directores, tal que:

a / cos α = b / cos β = c / cos δ = K

Se denotan por [a, b, c]. K = ±√(a² + b² + c²)

Si [a, b, c] son números directores de la recta L, sus cosenos directores son:

• cos α = a / K = ± a / √(a² + b² + c²)
• cos β = b / K = ± b / √(a² + b² + c²)
• cos δ = c / K = ± c / √(a² + b² + c²)

Ángulo entre Rectas

Ángulo θ formado por dos rectas cualesquiera en el espacio cuyos ángulos directores son α₁, β₁, δ₁ y α₂, β₂, δ₂:

cos θ = cos α₁ * cos α₂ + cos β₁ * cos β₂ + cos δ₁ * cos δ₂

Ángulo θ formado por dos rectas cualesquiera cuyos números directores son [a₁, b₁, c₁] y [a₂, b₂, c₂]:

cos θ = ± (a₁ * a₂ + b₁ * b₂ + c₁ * c₂) / (√(a₁² + b₁² + c₁²) * √(a₂² + b₂² + c₂²))

Si [a₁, b₁, c₁] y [a₂, b₂, c₂] son números directores de dos rectas L₁ y L₂, entonces los números directores de la recta L[a, b, c], perpendicular a las rectas L₁ y L₂ están dados por las determinantes:

a = | b₁ c₁ |    b = | a₁ c₁ |    c = | a₁ b₁ |

                           | b₂ c₂ |        | a₂ c₂ |       | a₂ b₂ |

Ecuación General de un Plano

Ax + By + Cz + D = 0

A, B, C, D son constantes y [A, B, C] son los números directores de la normal al plano.

El plano cuyas intersecciones con los ejes coordenados x, y, z son a, b, c, tiene por ecuación:

x / a + y / b + z / c = 1 (a, b, c distintos de 0)

Ángulo entre dos planos

Dados los planos Ax + By + Cz + D = 0 y A'x + B'y + C'z + D' = 0:

cos θ = ± (A * A' + B * B' + C * C') / (√(A² + B² + C²) * √(A'² + B'² + C'²))

Condiciones especiales:

• Paralelismo: A / A' = B / B' = C / C' = K
• Perpendicularidad: A * A' + B * B' + C * C' = 0
• Coincidentes: A / A' = B / B' = C / C' = D / D' = K

Forma Normal de la Ecuación de un Plano

p > 0; p = longitud de la normal trazada desde el origen. α, β, δ = ángulos directores.

x * cos α + y * cos β + z * cos δ - p = 0

Relación con la ecuación general Ax + By + Cz + D = 0:

Dividiendo cada término de la ecuación general por r = ±√(A² + B² + C²), el signo se determina según:

1. Si D ≠ 0, r es de signo contrario a D.
2. Si D = 0 y C ≠ 0, r y C son del mismo signo.
3. Si D = C = 0 y B ≠ 0, r y B son del mismo signo.
4. Si D = C = B = 0 y A ≠ 0, r y A son del mismo signo.

Distancia de un Punto a un Plano

Distancia del punto P₁(x₁, y₁, z₁) al plano Ax + By + Cz + D = 0:

d = (A * x₁ + B * y₁ + C * z₁ + D) / ±√(A² + B² + C²) → El signo se define por el teorema anterior.

Ecuaciones de una Recta

Recta que pasa por P₁(x₁, y₁, z₁) con números directores (A, B, C):

(x - x₁) / A = (y - y₁) / B = (z - z₁) / C = K

(x - x₁) / cos α = (y - y₁) / cos β = (z - z₁) / cos δ = K

Recta que pasa por P₁(x₁.y₁.z₁) y P₂(x₂, y₂, z₂):

(x - x₁) / (x₂ - x₁) = (y - y₁) / (y₂ - y₁) = (z - z₁) / (z₂ - z₁) = K

Relación entre Rectas y Planos

Rectas con números directores (a, b, c) y el plano Ax + By + Cz + D = 0:

• Paralelos: A * a + B * b + C * c = 0
• Perpendicular: A / a = B / b = C / c = K
• Ángulo: cos θ = |A * a + B * b + C * c| / (√(A² + B² + C²) * √(a² + b² + c²))

Geometría Analítica en el Espacio: Superficies

Elipsoide (h, k, l)

(x - h)² / a² + (y - k)² / b² + (z - l)² / c² = 1

Esfera (h, k, l)

(x - h)² + (y - k)² + (z - l)² = r²

Hiperboloide de una Hoja (rotación entorno al eje z) (h, k, l)

(x - h)² / a² + (y - k)² / b² - (z - l)² / c² = 1

Hiperboloide de dos Hojas (rotación entorno al eje y) (h, k, l)

-(x - h)² / a² + (y - k)² / b² - (z - l)² / c² = 1

Paraboloide Elíptico (h, k, l) (rotado entorno al eje z)

(x - h)² / a² + (y - k)² / b² = c * (z - l)

Paraboloide (h, k, l) y c > 0

-(x - h)² / a² + (y - k)² / b² = c * (z - l)

Cono Recto Circular

x² + y² - c² * z² = 0                   (x - h)² + (y - k)² - c² * (z - l)² = 0

Superficie Cilíndrica

x² / a + y² / b = 1                    (x - h)² / a² + (y - k)² / b² = 1