Fundamentos de la Teoría de Conjuntos y Funciones

Fundamentos de la Teoría de Conjuntos y Funciones

Los conjuntos se representan gráficamente mediante una curva cerrada a la que se le denomina **diagrama de Venn**, donde los elementos que pertenecen al conjunto se representan dentro de la curva.

A los elementos que no pertenecen al conjunto se les representa fuera de la curva.

Clasificación de Conjuntos

Los conjuntos se pueden clasificar de acuerdo con el número de elementos que poseen en: **finitos**, **infinitos**, **unitarios** o **vacíos**.

• Un conjunto es **finito** cuando todos sus elementos pueden ser contados.
• Un conjunto es **infinito** cuando no es finito.
• Un conjunto **unitario** es aquel que tiene un único elemento.
• Un conjunto es **vacío** si carece de elementos.

Relaciones entre Conjuntos

Sean A y B dos conjuntos, se dice que A está contenido en B (o que A es subconjunto de B) si cada elemento que pertenece al conjunto A también pertenece al conjunto B. Esta relación se simboliza con A ⊆ B.

Dos conjuntos A y B son iguales si tienen los mismos elementos. Esta relación se denota por A = B

Dos conjuntos A y B son **disyuntos** si no tienen elementos en común.

Operaciones con Conjuntos

Intersección

La **intersección** de dos conjuntos A y B es el conjunto de elementos comunes entre A y B. La intersección se nota como A ∩ B y se define como: A ∩ B = {x | x ∈ A ∧ x ∈ B}.

Unión

La **unión** de dos conjuntos A y B es el conjunto formado por todos los elementos que pertenecen al conjunto A y que pertenecen al conjunto B. La unión se nota con A ∪ B y se define como: A ∪ B = {x | x ∈ A ∨ x ∈ B}.

Complemento

Sea A un subconjunto del conjunto universal U, el conjunto de elementos que pertenecen a U y no pertenecen a A se denomina **complemento de A**; este se nota como A' y se define como: A' = {x ∈ U | x ∉ A}.

Diferencia

A la **diferencia** de dos conjuntos A y B pertenecen todos los elementos de A que no pertenecen a B. Esta operación se nota con A - B y se define simbólicamente como: A - B = {x | x ∈ A ∧ x ∉ B}.

Diferencia Simétrica

A la **diferencia simétrica** entre un conjunto A y un conjunto B pertenecen todos los elementos que pertenecen a A o pertenecen a B, pero no a ambos simultáneamente. Se nota como A Δ B y se define como: A Δ B = {x ∈ U | (x ∈ A ∧ x ∉ B) ∨ (x ∈ B ∧ x ∉ A)}.

Relaciones y Funciones

Relaciones

Una relación de un conjunto A en un conjunto B es el conjunto R de pares ordenados que satisfacen una regla o propiedad y tales que, el primer elemento pertenece a A y el segundo elemento pertenece a B.

Funciones

Una relación entre dos conjuntos X e Y se llama **función** si cada elemento x del primer conjunto, llamado **conjunto de partida**, se relaciona como máximo con un elemento y del segundo conjunto, llamado **conjunto de llegada**.

El rango de la función es el conjunto de números reales positivos, R(f) = [0, ∞). Las funciones se pueden representar mediante un enunciado o expresión verbal de la dependencia entre las dos variables, una tabla, una expresión algebraica o fórmula y una gráfica.

Continuidad

La gráfica de una función continua en un intervalo no presenta saltos ni rupturas. Los puntos donde la función no es continua se llaman **puntos de discontinuidad**.

Crecimiento y Decrecimiento

Una función es **creciente** en un intervalo si para todo par de valores en ese intervalo la tasa de variación es positiva.

Una función es **decreciente** en un intervalo si para todo par de valores en ese intervalo la tasa de variación es negativa.

Una función es **constante** en un intervalo si para todo par de valores en ese intervalo, la tasa de variación es nula.

Máximos y Mínimos

En una función continua se puede determinar un punto **máximo** o uno **mínimo** relativo según estas condiciones:

• **Máximo relativo**: si a su izquierda la función crece y a su derecha decrece.
• **Mínimo relativo**: si a su izquierda la función decrece y a su derecha crece.

Además, el mayor de todos los valores que tiene la función se llama **máximo absoluto** y el menor se llama **mínimo absoluto**.

Proporción Directa

Dos variables x e y están en **proporción directa** cuando al aumentar una, aumenta la otra en la misma proporción; es decir, si su razón y/x es constante.

Funciones Lineales

Las **funciones lineales** son de la forma f(x) = mx, donde m es una constante diferente de cero. Una función lineal transforma todos los elementos del dominio, multiplicándolos por un mismo número.