Fundamentos de Probabilidad: Axiomas, Variaciones, Permutaciones y Teoremas Clave

Axiomas del Cálculo de Probabilidades

• La probabilidad de un suceso es menor o igual que la unidad: P(A) ≤ 1
• La probabilidad del suceso imposible es cero: P(Ø) = 0
• La probabilidad del suceso contrario de A, A^c, es: P(A^c) = 1 – P(A)
• Si un suceso A está contenido en otro B (A ⊂ B): P(A) ≤ P(B)
• P(A-B) = P(A) – P(A ∩ B)
• P(A ∪ B) = P(A) + P(B) – P(A ∩ B)
• La probabilidad de la unión de n sucesos cualesquiera: (Falta la fórmula aquí)

Variaciones

Dado un conjunto A con n elementos, A = {a₁, a₂, …, a_n}, se llama variación sin repetición de orden m, a todo agrupamiento de A con m elementos.

Diremos que dos variaciones sin repetición son diferentes cuando tengan algún elemento diferente o cuando, teniendo los mismos elementos, el orden de colocación sea distinto.

Denotamos por V_n^m al número total de variaciones sin repetición de orden n formadas a partir de m objetos dados.

Permutaciones

Dado un conjunto A con n elementos distintos, A = {a₁, …, a_n}, llamaremos permutaciones sin repetición de n elementos, entre los cuales existen n₁ iguales entre sí, n₂ iguales entre si y distintos de los anteriores y así sucesivamente hasta un número final n_k de ellos iguales entre sí, de forma que n₁ + n₂ + … + n_k = n, a las colecciones distintas obtenidas con los n objetos.

Combinaciones

Dado un conjunto A con n elementos distintos, A = {a₁, a₂, …, a_n}, y m un número natural tal que m ≤ n, llamaremos combinaciones sin repetición de orden m, a todas las colecciones posibles de m objetos de entre los elementos de A y diremos que dos de esas colecciones son distintas como combinaciones si tienen algún elemento diferente. En cada colección no puede aparecer ningún elemento repetido. Podemos decir también que cada combinación sin repetición de orden n es un subconjunto de A con n elementos. Denotaremos por C_n^m al número total de combinaciones sin repetición de orden m formadas a partir de n objetos dados.

Llamaremos combinaciones con repetición de m elementos, a todas las colecciones posibles de m objetos de entre los elementos de A y diremos que dos de esas colecciones son distintas como combinaciones si tienen algún elemento diferente. En cada colección pueden aparecer elementos repetidos. El número total de combinaciones con repetición de orden m formadas de n objetos dados viene dado por: (Falta la fórmula aquí)

Teorema de la Probabilidad Total

En ocasiones todo el espacio Muestral se puede partir en varios sucesos incompatibles entre sí. Dicho de otra forma, siempre que se realiza el experimento ocurre uno de los sucesos y solamente uno de ellos. La probabilidad de un suceso A puede calcularse a partir de las probabilidades de A condicionado por los diferentes sucesos B₁, B₂, …, B_n

Teorema de Bayes

El cálculo de la probabilidad de cualquier suceso B, condicionado al suceso A viene dado por la expresión: def Que se conoce como la regla de Bayes. Una posible interpretación de esta regla es que, si consideramos B₁, B₂, …, B_n como hipótesis bajo las cuales pueden ocurrir A entonces la fórmula anterior permite hallar las probabilidades a posteriori P(B_i/A), una vez que ha ocurrido A, a partir de las probabilidades a priori P(B_i) y de las verosimilitudes P(A/B_i). Estas probabilidades a posteriori reflejan la alteración que produce la ocurrencia del suceso A en la hipótesis B_i. Este es el enfoque bayesiano en el que la probabilidad no es algo estático, sino que va cambiando a medida que tenemos más información.