Fundamentos del Potencial Gravitatorio, Momento Angular y Leyes de Kepler

Potencial Gravitatorio

Consideramos una masa M en el origen de coordenadas de un sistema inercial de referencia. Se define el potencial gravitatorio en un punto P cualquiera de esa región del espacio como:

v(P) = -∫ g · dr = -∫ g dr = -∫ g dr = GM ∫ dr / R² = -GM/r

De la interpretación física se deduce que el trabajo necesario para llevar una masa pequeña es "m" veces mayor y, por lo tanto, la energía potencial de la masa "m" en un punto P del espacio que rodea a M será:

Ep = m · v(P) = -GMm/r

Hay que decir que esta Ep no es exclusiva de "m", sino que está asociada al sistema M-m, ya que en definitiva cada una de las masas se encuentra en el campo que crea la otra. La energía mecánica asociada al sistema será:

Em = 1/2 mv² - GMm/r

Unidades: el potencial gravitatorio es un trabajo por unidad de masa w/m SI J/Kg. La Ep es un trabajo w SI J

Velocidad de Escape

Se llama Ve en el campo gravitatorio terrestre a la Vmin que hay que comunicar a un cuerpo en la superficie de la tierra para que, despreciando el rozamiento con la atmósfera, sea capaz de escapar del campo gravitatorio terrestre, es decir, de irse al infinito. Para calcular esta Vmin basta tener en cuenta que una vez lanzado el cuerpo, la única fuerza a la que se encuentra sometido es la fuerza gravitatoria, su propio peso, que es conservativa, por lo que su Em se mantiene constante:

1/2 mVe² - GMt · m/Rt = 0 -> Ve = √(2 · GMt/Rt)

Vemos que el potencial creado por una masa puntual es negativo; si se representa gráficamente en función de r se tiene:

Energía potencial gravitatoria en puntos... Para cuerpos próximos a la superficie de la tierra, la "a" de la gravedad se puede considerar aproximadamente constante y la superficie de la tierra plana (x,y) (g = -g · k dr = dz · k). En estos casos conviene asignar por convenio potencial 0 a la superficie de la tierra, con lo que el potencial gravitatorio en un punto P a una altura h sobre la superficie de la misma es:

v(P) = -∫ g · dr = +g ∫ dz = g[z] = g(h-0) = gh

Y por lo tanto la Epgra de una m situada en un punto P viene dada por:

Ep = m v(p) = mgh

La Ep es válida únicamente para puntos próximos a la superficie de la tierra cuando se considera la aceleración de la gravedad constante, la superficie de la tierra plana y se asigna potencial 0 a la superficie de la misma.

Momento Angular de una Partícula

Consideramos una partícula que describe una trayectoria curvilínea en el sentido indicado. Si en un instante t la partícula se encuentra en A siendo su velocidad v y su momento lineal P = mv, se define el momento angular de la partícula con respecto a un punto "o" como un vector fijo en "o" que viene dado por:

j_o = r × mv

A medida que el tiempo transcurre, el momento angular va variando en módulo, dirección y sentido; sin embargo, si la partícula se mueve en una trayectoria plana y el punto o está en el mismo plano, el momento angular mantiene su dirección constante. El recíproco también es cierto y si la dirección del momento angular de una partícula con respecto a un punto "o" se mantiene constante, la trayectoria de la partícula debe ser plana en un plano perpendicular al momento angular.

Teorema del Momento Angular

Derivando el momento angular respecto al tiempo se tiene:

dj_o/dt = (dr/dt × mv) + (r × d(mv)/dt) = r × F = M_o

"La variación instantánea del momento angular de una partícula respecto a un punto P es igual al momento de la fuerza neta actuante sobre la partícula con respecto a dicho punto o."

Conservación del Momento Angular

j_o = cte

"Si el momento angular de la fuerza neta actuante sobre una partícula con respecto a un punto o es 0, el momento angular de la partícula con respecto a ese punto o permanece constante."

Fuerzas Centrales

Cuando un planeta como la tierra se mueve alrededor del sol, la fuerza gravitatoria sobre el planeta va dirigida siempre hacia el sol, que es el centro de las fuerzas. En general se dice que una fuerza, o un campo de fuerzas, es central de centro o, cuando la recta de acción F contiene siempre a r. Si va dirigida hacia "o" se dice que es atractiva y si tiene sentido opuesto repulsiva.

Movimiento bajo la Acción de una Fuerza Central

Si una partícula se mueve sometida únicamente a la acción de una fuerza central se cumple:

j_o = r × mv = cte

El hecho de que el momento angular respecto a o sea constante garantiza que el movimiento de la partícula sea un movimiento plano, en el plano que determinan r y v.

Velocidad Areolar

v = dr/dt

Si una partícula sometida a una fuerza central se encuentra en un instante t en la posición A, cuando haya transcurrido un tiempo diferencial de dt se encontrará en una posición tal como A'; el desplazamiento de la partícula se representa por dr. El área barrida por el radio vector de esa partícula en ese intervalo de tiempo viene dado por:

dA = 1/2 |r × v| dt

Y el área barrida por unidad de tiempo es la Velocidad Areolar. La Velocidad Areolar de una partícula sometida a la acción de una fuerza central es constante (2ª ley de Kepler).

Impulso de una Fuerza

Si una F actúa sobre una partícula durante un tiempo (dt) se define el impulso diferencial comunicado a la partícula por la fuerza F como:

dI = F dt

Si la fuerza actúa entre los instantes t1 y t2 el impulso vendrá dado por:

I = ∫ F dt

Si F = cte, I = F (t2 - t1)

Teorema del Impulso

Si F representa la fuerza neta sobre la partícula, la 2ª ley de Newton dice:

F = dp/dt

I = P₂ - P₁

"El impulso producido por la fuerza neta actuante sobre una partícula es igual a la variación de su momento lineal."

Justificación de las Leyes de Kepler

Los movimientos de los planetas alrededor del sol, de los satélites alrededor de los planetas o de cualquier cuerpo que se mueva sometido a su propio peso vienen determinados por la ley de la gravitación y por las leyes de Newton. En el estudio del movimiento de los planetas alrededor del sol se supone que siempre la masa del sol es mucho mayor a la de cualquier planeta y se toma un sistema de referencia con origen en el sol. En estas condiciones la única fuerza a considerar sobre cada planeta es la fuerza gravitatoria con la que el sol la atrae por lo que M = 0. El hecho de que el momento angular de cualquier planeta en torno al sol sea constante en dirección garantiza que el movimiento del planeta debe ser un movimiento plano. Puede justificarse que la trayectoria debe ser una cónica, y en el caso de los planetas una elipse, estando el sol en uno de sus focos, lo que justifica la 1ª ley. Por otra parte, la Velocidad Areolar de los planetas es constante dA/dt = cte lo que justifica la 2ª ley de Kepler.

Para justificar la 3ª ley se considera una órbita circular, como por ejemplo la de la luna entorno a la tierra:

Fg = GMm/r² = mv²

Lo que justifica la 3ª ley únicamente para órbitas circulares.

Energía de un Satélite

E = -GMm/2r

Velocidad Orbital

v = √(GM/r)

Cambio de Órbita de un Satélite

W = ΔE = E2 - E1 = GMm(r2 - r1/r1 · r2)

Órbita Geoestacionaria

w = 2π/86400 (rad/s)

Se llama así a una órbita en el plano del ecuador terrestre en la que el movimiento del satélite tiene una "w" igual a la de rotación de la tierra. Tal satélite parece en reposo para un observador en la superficie de la tierra. Para calcular el R de la órbita basta hacer:

r = ³√(GMt/w²)