Fundamentos de Números Complejos y Geometría Analítica Plana y Espacial

Números Complejos

Si Z es un número complejo (nc), se representa como z = a + bi, donde a es la parte real de z y b es la parte imaginaria de z. Dicha notación recibe el nombre de notación binómica, ya que tiene dos componentes o partes (a y b).

Observaciones

• El conjunto de números complejos se designa por C.
• El conjunto R de los números reales está incluido en el conjunto C de los números complejos. Es decir, los números reales son números complejos cuya componente imaginaria b es igual a cero: a + 0i = a.
• Los números imaginarios son aquellos números complejos cuya componente imaginaria b no es cero. Por lo tanto, un número complejo o es real o es imaginario.
• Los números imaginarios puros son aquellos cuya componente real a es cero (0 + bi = bi).
• Cada número complejo queda determinado por un par de números reales (a, b), por lo tanto, cada número complejo representa un punto en el plano, siendo a y b sus coordenadas cartesianas.

Representación Gráfica

Vimos que la recta numérica quedó completa con los números reales. Para representar números no reales (imaginarios), debemos salir de la recta y recurrir al plano. El número complejo a + bi se representa en el plano mediante el punto de coordenadas (a, b). El eje de las abscisas (eje x) se llama eje real y el de las ordenadas (eje y) se llama eje imaginario. De esta forma, a cada número complejo le corresponde un punto del plano y, viceversa, a cada punto del plano le corresponde un número complejo.

Complejo Conjugado

Los números complejos cuya representación gráfica es simétrica respecto al eje real (eje x) se denominan conjugados. Dado un número complejo z = a + bi, llamamos conjugado de z (denotado como z) al número z = a - bi.

Complejo Opuesto

Si dos números complejos tienen sus partes reales e imaginarias respectivamente opuestas, se denominan números complejos opuestos. Para z = a + bi, su opuesto es -z = -a - bi.

Números Complejos en Forma Polar

El número complejo z = 4 + 3i se puede representar mediante un vector. Si este vector tiene 5 unidades de longitud y forma un ángulo de 36°52' con el eje real, diremos que su módulo es 5 y su argumento es 36°52'.

• Módulo de un número complejo z: Es la longitud del vector mediante el cual dicho número se representa. Se designa por |z| o ρ.
• Argumento de un número complejo z distinto de cero: Es el ángulo que forma el vector con el semieje real positivo. Se designa por arg(z) o α.
• Si |z| = ρ y arg(z) = α, el número complejo se puede designar en forma polar como z = ρ_α o z = ρ(cos α + i sen α).

Conversión entre Formas Binómica y Polar

De Binómica a Polar

Dado z = a + bi:

• Módulo: ρ = |z| = √(a² + b²)
• Argumento: α = arctan(b / a) (ajustando el cuadrante según los signos de a y b)

De Polar a Binómica

Dado z = ρ_α:

• Parte real: a = ρ * cos(α)
• Parte imaginaria: b = ρ * sin(α)

Relaciones trigonométricas básicas:

• cos(α) = cateto adyacente / hipotenusa = a / ρ
• sin(α) = cateto opuesto / hipotenusa = b / ρ

Geometría Analítica en el Plano

Puntos y Rectas

Colinealidad

Tres puntos A(x_a, y_a), B(x_b, y_b), C(x_c, y_c) están alineados si la pendiente entre A y B es igual a la pendiente entre A y C:

(y_b - y_a) / (x_b - x_a) = (y_c - y_a) / (x_c - x_a)

Nota: La expresión original `xa-xb : ya-yb = xa-xc : ya-yc` podría referirse a esta condición de igualdad de pendientes o a proporciones vectoriales. Se ha interpretado como igualdad de pendientes.

Punto Medio

El punto medio M del segmento AB, con A(x_a, y_a) y B(x_b, y_b), es:

M = ( (x_a + x_b) / 2 , (y_a + y_b) / 2 )

Punto Simétrico

El simétrico de un punto A(x_a, y_a) respecto a un punto M(x_m, y_m) es B(x_b, y_b) tal que:

x_b = 2 * x_m - x_a

y_b = 2 * y_m - y_a

Pendiente (m)

• Definición: La pendiente m mide la inclinación de una recta.
• Cálculo con dos puntos A(x_a, y_a) y B(x_b, y_b): m = (y_b - y_a) / (x_b - x_a)
• Relación con el ángulo de inclinación (α): m = tan(α)
• Desde la ecuación general (ax + by + c = 0): m = -a / b

Ordenada en el Origen (n)

• Definición: Es el punto donde la recta corta el eje y (eje de ordenadas).
• Desde la ecuación general (ax + by + c = 0): n = -c / b (corresponde al valor de y cuando x=0 en la forma y=mx+n)

Distancia entre Dos Puntos

La distancia entre A(x_a, y_a) y B(x_b, y_b) es:

d(A, B) = √((x_b - x_a)² + (y_b - y_a)²)

Ecuaciones de la Recta

Ecuación General

ax + by + c = 0

Ecuación Punto-Pendiente

La ecuación de la recta que pasa por el punto P(x_p, y_p) y tiene pendiente m es:

y - y_p = m(x - x_p)

Posiciones Relativas de Rectas

Dadas dos rectas r₁ (con pendiente m₁ y ordenada n₁) y r₂ (con pendiente m₂ y ordenada n₂):

• Paralelas: Si m₁ = m₂.
  • Coincidentes: Si además n₁ = n₂ (son la misma recta).
  • Disjuntas (o paralelas distintas): Si n₁ ≠ n₂.
• Secantes: Si m₁ ≠ m₂ (se cortan en un punto).

Circunferencia

Dado un punto fijo C (centro) y un número real positivo r (radio), llamamos circunferencia de centro C y radio r al lugar geométrico de los puntos del plano que distan r de C.

Ecuaciones de la Circunferencia

• Ecuación Canónica (Centro (α, β)):
  (x - α)² + (y - β)² = r²
• Ecuación General (desarrollada):
  x² + y² - 2αx - 2βy + α² + β² - r² = 0
  Se puede escribir como: x² + y² + Dx + Ey + F = 0

Donde:

• D = -2α
• E = -2β
• F = α² + β² - r²

Elementos a partir de la Ecuación General

• Centro C: (α, β) = (-D / 2 , -E / 2)
• Radio r: r = √(α² + β² - F) = √((-D/2)² + (-E/2)² - F)

Nota: Para que la ecuación represente una circunferencia real, la expresión dentro de la raíz cuadrada (α² + β² - F) debe ser positiva.

Geometría Analítica en el Espacio

Planos Coordenados

Los planos coordenados básicos son:

• Plano XY: determinado por la ecuación z = 0.
• Plano YZ: determinado por la ecuación x = 0.
• Plano XZ: determinado por la ecuación y = 0.

(Sección "Dibujos" omitida por falta de contenido gráfico).

Ecuación del Plano

Ecuación General

ax + by + cz + d = 0

Donde (a, b, c) es el vector normal al plano.

Posiciones Relativas de Planos

Dados dos planos:

• π₁: ax + by + cz + d = 0
• π₂: a'x + b'y + c'z + d' = 0

Son paralelos si sus vectores normales son proporcionales (a/a' = b/b' = c/c').

• Coincidentes: Si además los términos independientes mantienen la proporción (a/a' = b/b' = c/c' = d/d').
• Disjuntos (paralelos distintos): Si la proporción no se mantiene para los términos independientes (a/a' = b/b' = c/c' ≠ d/d').

Si los vectores normales no son proporcionales, los planos son secantes (se cortan en una recta).

Interpretación Geométrica de Sistemas de Ecuaciones Lineales (3x3)

Un sistema de tres ecuaciones lineales con tres incógnitas representa geométricamente la intersección de tres planos en el espacio:

• SCD (Sistema Compatible Determinado): Solución única. Los tres planos se cortan en un único punto.
• SCI (Sistema Compatible Indeterminado): Infinitas soluciones. Los planos se cortan en una recta (pueden ser los tres secantes en la misma recta, o dos coincidentes y el tercero secante) o los tres planos son coincidentes.
• SI (Sistema Incompatible): Ninguna solución. Los planos no tienen ningún punto en común. Posibilidades:
  • Planos paralelos disjuntos (los tres, o dos coincidentes y uno paralelo disjunto).
  • Planos secantes dos a dos, formando una superficie prismática triangular.
  • Dos planos paralelos disjuntos cortados por un tercero.