Fundamentos de Filtros Activos: Síntesis, Escalado y Funciones de Transferencia

Introducción a los Filtros Activos

Un filtro activo se compone fundamentalmente de una red RC (Resistencia-Condensador) combinada con elementos activos.

• El elemento activo más utilizado es el amplificador operacional (Op-Amp), implementado en diversas configuraciones:
  • Amplificador operacional realimentado.
  • Fuente de tensión controlada por tensión (VCVS).
  • Convertidor de impedancia negativa (NIC).
  • Girador: actúa como un inversor de impedancia positiva, presentando en su entrada la impedancia inversa a la conectada en su salida.
• Los filtros LC (Inductor-Condensador) resultan poco prácticos en aplicaciones de baja frecuencia debido al tamaño, coste y baja calidad (bajo factor Q) de los inductores. Esto impulsa la necesidad de filtros sin inductores, logrando la emulación de inductancias mediante el uso de condensadores y elementos activos como el girador.

Síntesis de Filtros Activos

Síntesis Directa

Características principales:

• Utiliza un único elemento activo y una red compuesta por resistencias y condensadores.
• Existen varias técnicas para la síntesis directa:
  • Emulación de inductancias utilizando un Girador.
  • Amplificador RC canónico: basado en un amplificador operacional con realimentación múltiple y una red de n condensadores que determinan el orden del filtro.
  • Convertidor de impedancias: emplea dos redes RC caracterizadas por sus parámetros de admitancia y un amplificador operacional.
  • Circuitos que generan variables de estado.

Síntesis por Cascada

Características principales:

• Se construyen bloques básicos de primer y segundo orden. Al conectarlos en cascada, se obtiene la respuesta del filtro deseado.
• Este método se fundamenta en la propiedad multiplicativa de las funciones de transferencia en sistemas conectados en cascada: H(s) = H₁(s) * H₂(s) * ... * H_n(s).
• Se aplica preferentemente cuando el orden del filtro a diseñar es elevado, lo que complicaría su realización mediante síntesis directa.

Método General de Síntesis por Cascada:

1. Descomposición de la función de transferencia global (H(s)) en un producto de funciones de transferencia de primer y/o segundo orden, las cuales son más fáciles de realizar individualmente mediante técnicas de síntesis directa.
2. Realización física de cada bloque (etapa) de primer o segundo orden.
3. Conexión en cascada de los bloques individuales para conformar el filtro completo deseado.

Comparación de Métodos de Síntesis

Síntesis Directa

• Elemento Activo: Generalmente, un único elemento activo.
• Cálculo: Método de cálculo global donde es difícil distinguir la función específica de cada componente pasivo.
• Aplicabilidad: Adecuada para casos particulares o para la realización de etapas sencillas (como las usadas en la síntesis por cascada).

Síntesis en Cascada

• Elementos Activos: Tantos elementos activos como etapas (bloques de 1er/2do orden) tenga el filtro.
• Flexibilidad: Alta flexibilidad, permitiendo el estudio, diseño y ajuste de cada etapa de forma independiente.
• Ajuste: Facilidad de ajuste y calibración.
• Aplicabilidad: Amplio campo de aplicación, sin límite práctico en cuanto a la complejidad u orden del filtro.

Escalado de Componentes

Una vez calculados los valores de los elementos pasivos (resistencias y condensadores) que definen las características del filtro (frecuencia de corte, factor Q, etc.), a menudo es necesario escalar estos valores.

• Objetivo: Adaptar los valores de los componentes a rangos de impedancia prácticos y adecuados para el correcto funcionamiento del amplificador operacional utilizado. Un rango orientativo común es 5 kΩ < R < 1 MΩ, aunque depende del Op-Amp específico.
• Procedimiento: Para no modificar las características frecuenciales del filtro (polos y ceros), se aplica un factor de escala de impedancia (k):
  • R_nueva = k * R
  • C_nueva = C / k
• Donde k es el factor de escala elegido.

Función de Transferencia (FdT)

Justificación

Las funciones de transferencia (FdT) son herramientas matemáticas esenciales para caracterizar las relaciones entrada-salida en sistemas descritos por ecuaciones diferenciales lineales e invariantes en el tiempo (LIT), como es el caso de muchos circuitos electrónicos.

Propiedades de la Función de Transferencia

• Es una propiedad inherente del sistema (circuito), independiente de la magnitud o naturaleza de la señal de entrada (excitación).
• Relaciona la salida con la entrada en el dominio de la frecuencia compleja (plano s), proporcionando una descripción completa de las características dinámicas del sistema, aunque no ofrece información directa sobre su estructura física interna.
• Si la FdT es desconocida, puede determinarse experimentalmente aplicando entradas conocidas (como impulsos o escalones) y analizando la respuesta de salida del sistema.
• Si la FdT es conocida, permite predecir y estudiar la respuesta del sistema (salida) para diversas formas de señal de entrada, ayudando a comprender el comportamiento del sistema.

Estabilidad del Sistema

• Un sistema dinámico se considera estable si su respuesta (salida) permanece acotada (limitada en amplitud) para cualquier entrada acotada (BIBO stability - Bounded Input, Bounded Output).
• La estabilidad de un sistema lineal está directamente relacionada con la ubicación de sus polos (las raíces del denominador de la función de transferencia) en el plano complejo s.
• Condición necesaria y suficiente para la estabilidad: Todos los polos de la función de transferencia H(s) deben tener partes reales estrictamente negativas. Es decir, todos los polos deben situarse en el semiplano izquierdo (SPI) del plano s.
• Para asegurar no solo la estabilidad, sino también características deseables en la respuesta transitoria (como rapidez y bajo sobreimpulso o buena amortiguación), es necesario ubicar los polos del sistema en regiones específicas dentro del semiplano izquierdo del plano s.