Fundamentos de Álgebra Lineal: Conjuntos, Espacios Vectoriales y Aplicaciones

Conjuntos

Un conjunto está compuesto por elementos. Se representan con letras mayúsculas y los elementos con letras minúsculas. En un conjunto no hay elementos repetidos.

Aplicaciones

Una aplicación F: A → B se define cuando cada elemento del conjunto inicial A tiene una única imagen en el conjunto final B.

Tipos de Aplicaciones

Inyectiva: Una aplicación es inyectiva cuando elementos distintos del conjunto inicial tienen imágenes distintas en el conjunto final.

Suprayectiva: Una aplicación es suprayectiva cuando cada elemento del conjunto final tiene al menos una preimagen en el conjunto inicial.

Espacio Vectorial

Un espacio vectorial V sobre un campo K (como los números reales) se define con dos operaciones: una ley de composición interna (+) y una ley de composición externa (•).

Un espacio vectorial (V, +, K, •) debe cumplir las siguientes propiedades:

Ley de Composición Interna

• Para todo a, b ∈ V, a + b ∈ V.
• Para todo a, b, c ∈ V, (a + b) + c = a + (b + c) (Asociativa).
• Para todo a, b ∈ V, a + b = b + a (Conmutativa).
• Existe un elemento neutro e (0) tal que para todo a ∈ V, a + e = e + a = a.
• Para todo a ∈ V, existe un elemento inverso a^-1 ∈ V tal que a + a^-1 = a^-1 + a = e.

Ley de Composición Externa

• Para todo a ∈ V y todo λ ∈ K, λ • a ∈ V.
• Para todo λ, μ ∈ K y todo a ∈ V, λ • (μ • a) = (λ • μ) • a (Asociativa).
• Para todo λ ∈ K y todo a, b ∈ V, λ • (a + b) = λ • a + λ • b (Distributiva).
• Para todo λ, μ ∈ K y todo a ∈ V, (λ + μ) • a = λ • a + μ • a (Distributiva).
• Para todo a ∈ V, 1 • a = a.

Subespacio Vectorial

Un subconjunto no vacío S de V es un subespacio vectorial si S, con las mismas operaciones de V, es también un espacio vectorial.

• Para todo x, y ∈ S, x + y ∈ S.
• Para todo λ ∈ K, λ • x ∈ S.
• Para todo x, y ∈ S y todo λ, μ ∈ K, λ • x + μ • y ∈ S.

Combinación Lineal

Dado un espacio vectorial V y vectores (u₁, u₂, ..., u_n) en V, un vector x ∈ V es una combinación lineal de (u₁, u₂, ..., u_n) si existen escalares α₁, α₂, ..., α_n tales que x = α₁ • u₁ + α₂ • u₂ + ... + α_n • u_n.

Sistema Libre y Sistema Ligado

Un conjunto de vectores {u₁, u₂, ..., u_n} en V es un sistema libre si la única solución a la ecuación λ₁ • u₁ + λ₂ • u₂ + ... + λ_n • u_n = 0 es λ₁ = λ₂ = ... = λ_n = 0. Si existe alguna solución donde al menos un λ_i ≠ 0, el sistema es ligado.

Sistema Generador

Un conjunto de vectores {u₁, u₂, ..., u_n} en V es un sistema generador de V si cualquier vector en V puede expresarse como una combinación lineal de {u₁, u₂, ..., u_n}.

Base y Dimensión

Una base de un espacio vectorial V es un conjunto de vectores {u₁, u₂, ..., u_n} que es libre y genera V. La dimensión de V es el número de vectores en la base.

Aplicación Lineal

Una aplicación f: V → V' entre dos espacios vectoriales V y V' sobre el mismo campo K es lineal si:

• Para todo x, y ∈ V, f(x + y) = f(x) + f(y).
• Para todo α ∈ K y todo x ∈ V, f(α • x) = α • f(x).

Núcleo (Ker) e Imagen (Im)

El núcleo de f es Ker(f) = {x ∈ V | f(x) = 0}. La imagen de f es Im(f) = {x' ∈ V' | existe x ∈ V tal que f(x) = x'}.

Dim V = Dim Im(f) + Dim Ker(f).

• Si Ker(f) = {0}, f es inyectiva.
• Si Dim Im(f) = Dim V', f es suprayectiva.
• Si f es inyectiva y suprayectiva, es biyectiva.

Rango de una Matriz

El rango de una matriz es el tamaño del mayor determinante no nulo que se puede encontrar dentro de la matriz. Es el número de filas o columnas linealmente independientes.

Matriz Inversa

Una matriz cuadrada A tiene inversa A^-1 si A • A^-1 = A^-1 • A = I (matriz identidad). La inversa se puede calcular como A^-1 = (Adj(A))^T / |A| o mediante transformaciones elementales.

Sistemas de Ecuaciones Lineales

Pueden ser homogéneos (términos independientes iguales a cero) o no homogéneos.

Espacio Vectorial Euclídeo

y x un vector de V.—>||x||=+raízx,x>, la norma de x

Propiedades de la norma:

Cualquier vector tiene norma.

Para todo alfa e tr,para todo x e V—> ||alfa•x||=|alfa|•||x||.

Cauchy-Schwartz: para todo x,ye V—> |x,y|

Minkwsky: para todo x,ye V—> ||x+y||

Base ortogonal,base ortonormal:

Sea la siguiente base B={e1,e2,e3}

Si 1,e2>=0... es una base ortogonal.

Si ||e1||=||e1||=||e3||=1 es ortonormal.