Funciones Trigonométricas: Definiciones y Propiedades

Funciones Trigonométricas

Las funciones trigonométricas son valores sin unidades que dependen de la magnitud de un ángulo. Se dice que un ángulo situado en un plano de coordenadas rectangulares está en su posición normal si su vértice coincide con el origen y su lado inicial coincide con la parte positiva del eje x.

En la figura 3, el punto P está situado en una línea recta que pasa por el origen y que forma un ángulo θ con la parte positiva del eje x. Las coordenadas x e y pueden ser positivas o negativas según el cuadrante (I, II, III, IV) en que se encuentre el punto P; x será cero si el punto P está en el eje y, o y será cero si P está en el eje x. La distancia r entre el punto y el origen es siempre positiva e igual a √(x² + y²), aplicando el teorema de Pitágoras.

Definición de las Funciones Trigonométricas

Las seis funciones trigonométricas más utilizadas se definen de la siguiente manera:

Como x e y son iguales si se añaden 2π radianes al ángulo —es decir, si se añaden 360°— es evidente que sen(θ + 2π) = sen θ. Lo mismo ocurre con las otras cinco funciones. Dadas sus respectivas definiciones, tres funciones son las inversas de las otras tres, es decir:

Valores de las Funciones Trigonométricas

Si el punto P, de la definición de función trigonométrica, se encuentra en el eje y, la x es cero; por tanto, puesto que la división por cero no está definida en el conjunto de los números reales, la tangente y la secante de esos ángulos, como 90°, 270° y -270°, no están definidas. Si el punto P está en el eje x, la y es 0; en este caso, la cotangente y la cosecante de esos ángulos, como 0°, 180° y -180°, tampoco están definidas. Todos los ángulos tienen seno y coseno, pues r no puede ser igual a 0.

Como r es siempre mayor o igual que x o y, los valores del sen θ y cos θ varían entre -1 y +1. La tg θ y la cotg θ son ilimitadas, y pueden tener cualquier valor real. La sec θ y la cosec θ pueden ser mayor o igual que +1 o menor o igual que -1.

El valor de las funciones trigonométricas no depende de la longitud de r, pues las proporciones son sólo función del ángulo.

Funciones Trigonométricas en un Triángulo Rectángulo

Si θ es uno de los ángulos agudos de un triángulo rectángulo (figura 4), las definiciones de las funciones trigonométricas dadas más arriba se pueden aplicar a θ como se explica a continuación. Si el vértice A estuviera situado en la intersección de los ejes x e y de la figura 3, si AC descansara sobre la parte positiva del eje x y si B es el punto P de manera que AB = AP = r, entonces el sen θ = y/r = a/c, y así sucesivamente: