Funciones Polinómicas y Operaciones

TP1 / Función Polinómica

Una función polinómica de una variable es toda aquella función P :R R → de la forma: P(x)=an​xn+an−1 ​xn−1 +…+a1​x+a0. donde n es un número entero no negativo y an an-1 a1 y a0 son números reales, con an distinto de cero.

Definición de Polinomio

Toda función polinómica se define por una expresión algebraica, llamada polinomio. El grado de un polinomio P(x) (se lo suele notar gr(P(x)) es el mayor exponente al que está elevada su variable. Los coeficientes son los números reales que acompañan las distintas potencias de la variable. El coeficiente del término que define el grado es el coeficiente principal (an) y el término independiente (a0) es el coeficiente de grado cero.

Características de los Polinomios

Un polinomio está ordenado si sus términos están ordenados según sus grados, en orden creciente o decreciente. Un polinomio de grado n es completo cuando entre sus términos aparecen todos los exponentes de n hasta 0. Si alguno de los términos falta, el polinomio es incompleto. Un polinomio está especializado cuando para un valor determinado de la variable se encuentra el valor numérico del polinomio.

Operaciones con Polinomios

Suma y resta de polinomios

Para hallar la suma de dos o más polinomios se suman los términos semejantes, es decir, aquellos términos en los que la variable tiene el mismo exponente. Si los polinomios están desordenados, se los puede ordenar para la realizar la operación ya que esto facilita el reconocimiento de los términos semejantes.

Para restar un polinomio a otro, lo que hacemos es sumar el opuesto del sustraendo. Para encontrar el opuesto de un polinomio sólo hay que multiplicarlo por −1, así se cambian los signos de todos sus términos. Una vez realizado esto, procedemos a sumarlos.

Multiplicación de polinomios

Para multiplicar dos polinomios aplicamos propiedad distributiva de la multiplicación con respecto a la suma. Multiplicamos cada término de uno de ellos por todos los términos del otro y luego sumamos los resultados. Observa que el grado del polinomio resultante es la suma de los grados de ambos factores.

Binomio al cuadrado (a+b)2=a2+2ab+b2 / Binomio al cubo (a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b3 / Producto de binomios conjugados (a+b)(a−b)=a2−b2

División de polinomios

La división entre dos polinomios P(x) y Q(x) es posible realizarla siempre y cuando Q(x) no es el polinomio nulo y el grado de P(x) es mayor o igual que el grado de Q(x).

División entre monomios: El polinomio cociente tiene coeficiente igual al cociente de los coeficientes de los monomios que se dividen y su grado es la diferencia entre los grados del dividendo y divisor. División de un polinomio por un monomio y División entre polinomios.

Regla de Ruffini

En el caso de la división de un polinomio por otro de la forma (x – a), con a e R , se puede utilizar un procedimiento simplificado que se conoce con el nombre de Regla de Ruffini.

Teorema del Resto

“El resto de la división entre un polinomio P(x) y un binomio de la forma (x-a), es igual al valor numérico del polinomio cuando x toma el valor “a”, que podemos expresar como P(a).”

TP2 / Casos de Factoreo

Factor común: una expresión algebraica es factor común de todos los términos de otra expresión cuando aparece repetida en cada uno de sus términos. Para extraer factor común se debe proceder de manera inversa a la aplicación de la propiedad distributiva de la multiplicación respecto de la suma o resta: a.b +- a.c = a(b +- c). Primero se debe reconocer cuál es el factor que se encuentra repetido en cada término y luego, para encontrar el factor que va entre paréntesis, se divide cada término de la expresión por el factor común.

Factor común en grupos: Se aplica a expresiones algebraicas que no tienen un factor común en todos sus términos. En primer lugar, si queremos factorizar una expresión algebraica por este método, tenemos que tener en cuenta que el mismo debe tener un número par de términos (por lo menos cuatro términos). 

El método es similar al anterior, agrupando los términos que admiten factor común. Los pasos a seguir son: → Se forman grupos de igual cantidad de términos, de forma tal que en cada uno de ellos haya un factor común. → En cada término debe aparecer el mismo factor para poder extraerlo nuevamente. → Al sacar nuevamente factor común, la expresión queda factorizada a través del factor común por grupos.

Trinomio cuadrado perfecto: lo que tenemos que hacer para factorizar un trinomio por este método, es asegurar que esta expresión algebraica de tres términos sea equivalente a un binomio elevado al cuadrado. Es decir, dos de sus términos deben ser cuadrados perfectos y el otro es el doble producto de las bases de esos cuadrados

Diferencia de cuadrados: toda expresión algebraica que es diferencia de dos cuadrados es igual al producto de la diferencia de las bases de dichos cuadrados por la suma de las mismas. a2−b2=(a+b)(a−b)

Ecuaciones Polinómicas

Para resolver ecuaciones polinómicas, se debe: • igualar a cero la expresión; • factorizar; • utilizar la propiedad de nulidad del producto (si a.b=0 entonces a=0 ó b=0).

Expresión Factorizada

Todo polinomio de una variable y de grado n que tenga n raíces reales puede factorizarse como P(x) = an (x-x1)(x-x2)…(x-xn). Siendo an el coeficiente principal y x1,x2…xn sus raíces.

Raíces de un polinomio

Como vimos en el trabajo práctico anterior, llamamos valor de un polinomio para x=a, y lo escribimos P(a), al número que resulta al reemplazar la variable del polinomio por “a” y realizar todas las operaciones. Por el Teorema del resto, si P(a)=0, decimos que “a” es raíz del polinomio. Observación: Un polinomio P(x) es divisible por (x − a) si y sólo si,"a" es una raíz de P(x).

Conceptos importantes:

• El orden de multiplicidad de una raíz en un polinomio es la cantidad de veces que aparece, en su expresión factorizada, el factor asociado a dicha raíz. • El grado de un polinomio es la suma de los órdenes de multiplicidad de las raíces.

Teorema de Gauss

“Si el polinomio P(x), de grado n, con coeficientes enteros y término independiente no nulo, admite una raíz racional p/q (fracción irreducible), entonces p es divisor del término independiente y q lo es del coeficiente principal.” Procedimiento: • Identificar término independiente “p” y coeficiente principal “q”; • Buscar divisores de “p” y “q”; • Armar las posibles raíces racionales p/q combinando los divisores hallados anteriormente; • Utilizar el Teorema del Resto para hallar las raíces.

TP3 / GRÁFICO APROXIMADO DE FUNCIONES POLINÓMICAS

• El dominio de las funciones polinómicas es el conjunto de los números reales. • Las funciones polinómicas son continuas.

Para determinar el comportamiento de una función polinómica respecto del eje X, debemos encontrar su expresión factorizada y determinar el orden de multiplicidad de sus raíces.

Si el orden de multiplicidad de la raíz es par, la gráfica de la función toca al eje X pero no lo atraviesa (rebota). Si el orden de multiplicidad de la raíz es impar, la gráfica de la función atraviesa el eje X.

TP4 / EXPRESIONES ALGEBRAICAS RACIONALES

Dados dos polinomios P(x) Y Q(x), tal que Q(x) distinto de 0, se denomina expresión algebraica racional a toda expresión de la forma P(x) / Q(x). Una expresión algebraica racional es irreducible si no existen en ella factores comunes al numerador y al denominador.

SimplificaciónPara simplificar una expresión algebraica racional se debe factorizar el numerador y eldenominador y cancelar los factores comunes a ambos; se obtiene así una expresión irreducibleequivalente a la original.

Multiplicación y divisiónEl resultado de multiplicar dos expresiones algebraicas racionales es otra expresión algebraica racional cuyo numerador y denominador son el producto de los numeradores y denominadores de las expresiones dadas.

El resultado de dividir dos expresiones algebraicas racionales es otra expresión que se obtiene multiplicando la primera expresión por la recíproca de la segunda. Observación: Tanto en la multiplicación como en la división se debe simplificar siempre que sea posible.

Adición y Sustracción

Si las expresiones tienen igual denominador, se suman o restan los numeradores segúncorresponda. Si las expresiones tienen distinto denominador, éstas se deben transformar en otras equivalentes a las dadas, que tengan el mismo denominador. Este denominador (denominador común) es el mínimo común múltiplo (MCM) de los denominadores de las expresiones originales y se obtiene multiplicando los factores comunes y no comunes con su mayor exponente.

Operaciones Combinadas

Para resolver operaciones combinadas se debe tener en cuenta la simplificación, multiplicación, división, suma y resta de expresiones algebraicas. Para resolver una operación combinada se debe: • separar en términos, • efectuar las operaciones indicadas en cada término, • si es posible, simplificar e indicar la condición de posibilidad.

Ecuaciones Racionales

Dados dos polinomios P(x) y Q(x), tal que Q(x) distinto de 0, se denomina ecuación racional a toda expresión de la forma P(x) / Q(x). Resolver una ecuación racional es encontrar las raíces del numerador P(x) que no anulen al denominador Q(x).

Si alguna de las raíces del numerador es igual a alguna de las raíces del denominador, ésta debe ser descartada, ya que no es solución de la ecuación planteada. Por último se debe verificar en la ecuación original los valores de x hallados.

TP5 Inecuaciones

Una inecuación polinómica es una desigualdad en la que al menos una de las expresiones involucradas es un polinomio. Un polinomio es una expresión algebraica que involucra sumas y productos solo de variables elevadas a potencias enteras no negativas Una inecuación racional es una desigualdad en la que al menos una de las expresiones involucradas es una función racional. Una función racional es el cociente de dos polinomios.

TP7 Resolución de Triángulos Rectángulos

Resolver un triángulo es determinar el valor de algunos de sus elementos a partir de cierta información conocida sobre el mismo. Si el objeto que se está observando está por encima de la horizontal, entonces el ángulo entre la línea de visión y la horizontal se conoce como ángulo de elevación. Si el objeto está por debajo de la horizontal, entonces el ángulo entre la línea de visión y la horizontal se conoce como ángulo de depresión.

En los problemas a resolver, los ángulos de depresión y de elevación para un observador hipotético se plantean a nivel del piso, salvo que se especifique lo contrario. Si la línea de visión se refiere a un objeto físico, como un plano inclinado o la ladera de una colina, utilizamos el término ángulo de inclinación.