Funciones Matemáticas: Análisis de Gráficas, Derivadas y Continuidad

El intervalo abierto (-2, 1) es el conjunto de los números reales x que verifican: -2 < x < 1. El intervalo abierto (-∞, 0) es el conjunto de los números reales x que verifican: x < 0. El conjunto de los números reales x que verifican 0 ≤ x < 1 es [0, 1). La expresión f(x) = 1/x define una función f: I → R cuando I = [1, ∞). La expresión f(x) = √(2x - 1) define una función f: I → R si I = [1, ∞). La expresión f(x) = (x² - 1)/(x - 2) define una función f: I → R si I = (4, ∞). El gráfico de la función f(x) = x² - x + 1 pasa por el punto (2, 7). El gráfico de la función f(x) = x³ - 2x + 1 no pasa por el punto (-2, 3). El gráfico de la función f(x) = 1/x definida en el intervalo (0, ∞) pasa por los puntos (2, 0.5) y (4, 0.25). El gráfico de la función f = √(x² + 3) definida sobre (-∞, ∞) pasa por los puntos (√6, 3) y (√3, √6). Si f(x) es la función f(x) = x² - 4 definida en (-∞, ∞), en el punto (2, 1) está por encima de la gráfica de f. Si f es la función f(x) = √x definida en (0, ∞), en el punto (3, 1.5) está por debajo de la gráfica de f. Si f es la función f(x) = x² definida en (-∞, ∞) y g es la función g(x) = 2x + 1 definida en (-∞, ∞), en el punto (2, 5) está por encima de la gráfica de f y por encima de la gráfica de g. Las gráficas de las funciones f(x) = x² y g(x) = 2x definidas en (-∞, ∞) se cortan en los puntos (0, 0) y (2, 4). Las gráficas de las funciones f y g definidas en el intervalo (0, ∞) por f(x) - √x y g(x) = (x + 1)/2 se cortan en un único punto. Si f es creciente en el intervalo (-3, 0), se cumple: f(-1/2) ≥ f(-2). Si f es creciente en el intervalo (-4, 1), no puede ser: f(-3) > f(-1). Si f es decreciente en el intervalo (-2, 2): f(-3/2) ≥ f(-1/2). Si f es decreciente en el intervalo (-3, 1), no puede ser: f(-4/3) < -2. La función f(x) = x² es creciente en el intervalo (2, 3). La función f(x) = 1/x es decreciente en el intervalo (-1, 0). El límite de f(x) = x² - x - 1 cuando x → -1 es -1. El límite de f(x) = √(x - 1) cuando x → 2 es 1. Cuando x → 0, la función:
^{:-1 La función f(x) = 1/(x - 1)² cuando x → 1: tiene límite ∞.} La función f(x) = 3 - x si x < 2 y f(x) = cx > 2 es continua en x = 2 si c = 1/2. La función f(x) = 1 - x si x < 1 y f(x) = x + 1 > 1 tiene una única discontinuidad. La función f(x) se define como f(x) = -x si x < 0 y f(x) = x > 0 es continua en todos los puntos. ¿Cuál de las siguientes afirmaciones es cierta?: toda función derivable en un punto x₀ es continua en ese punto. La función f(x) = x² tiene derivada: f'(x) = 2x. La función f(x) = x³ - x tiene derivada: f'(x) = 3x² - 1. La función f(x) = √x tiene derivada: f'(x) = 1/(2√x). La función (2 - 3x)³ tiene derivada: -9(2 - 3x)². Para x ≠ 0, la función f(x) = 3/x tiene derivada: f'(x) = -3/x². Para x ≠ -3, la función f(x) = x/(x - 3) tiene derivada: f'(x) = 3/(x + 3)². La función f(x) = 1/(x² + 1) tiene derivada: f'(x) = -2x/(x² + 1)². La función √(x² - 1) tiene derivada: x/√(x² + 1). La función f(x) = (x + 1)(x² + 1) tiene derivada: 3x² + 2x + 1. La función f(x) = x√x tiene derivada: 3/2√x. La derivada de la función f(x) = x³ - x² en el punto x = 3 es igual a: 21. Si f es la función f(x) = 5/(1 - x) definida para x ≠ 1, la derivada de f en x = 2 es igual a: 5. La derivada de la función f(x) = √x en el punto x = 1 es igual a: 1/2. La derivada de la función f(x) = √x - x cumple: f'(4) = -3/4. Si f es la función f(x) = (1 + x)/(1 - x) definida para x ≠ 1, la derivada de f en x = 2 es igual a: 2. La derivada de la función f(x) = √(x⁴ + 1) cumple: f'(1/2) = 1/√17. La derivada de la función f(x) = √(1 - x) + √(1 - x) cumple: f'(0) = 0. La derivada de la función f(x) = x/(x² + 1) no cumple: f'(1) = 2. La derivada de la función f(x) = 6x² - (x + 1)³ no cumple: f'(-1) = 8. La posición de un móvil sobre una recta en el instante t viene dada por la función f(t) = t² - t; la velocidad del móvil en el instante t es: v(t) = 2t - 1. La posición de un móvil sobre una recta en el instante t viene dada por la función f(t) = t² - t; la velocidad del móvil en el instante t = 1 es: 3. La posición de un móvil sobre una recta en el instante t viene dada por la función f(t) = 3t - t²; su posición en el instante que su velocidad es 0 es: 9/4. La posición de un móvil sobre una recta en el instante t viene dada por la función f(t) = 2t³ - 3; la velocidad del móvil verifica: -3. La pendiente de la tangente a la gráfica de la función f(x) = x² - x en el punto de abscisa x = 1 vale: 1. La pendiente de la tangente a la gráfica de la función f(x) = x⁴ - x³ en el punto de abscisa x = -1 vale: -7. La gráfica de la función f(x) = √x definida para x ≥ 0 tiene tangente pendiente: 1/2 en el punto de abscisa x = 1. La tangente de la gráfica de f(x) = (2x - 3)² tiene pendiente -2 en el punto de abscisa: x = -7/4. La tangente a la gráfica de f(x) = √(x² - 1) tiene pendiente 1/√2 en el punto de abscisa: x = 1. La tangente a la gráfica de la función f(x) = x² + x + 1 es paralela a la recta y = 2x - 3 en el punto de abscisa: x = 1/2. La tangente a la gráfica de la función f(x) = 2√x definida para x > 0 es paralela a la recta x - √3y + 1 = 0 en el punto de abscisa: x = 3. La tangente a la gráfica de la función f(x) = 1 - x² es perpendicular a la recta y = x en el punto de abscisa: x = 1/2. La tangente a la gráfica de la función f(x) = 1/(1 - x²) es perpendicular a la recta x = 1 en los puntos de abscisa: x = -1 y x = 1. La recta tangente a la gráfica de la función f(x) = x⁴ - 2x en el punto de abscisa x = 1 tiene por ecuación: y = 2x - 3. La recta tangente a la gráfica de la función f(x) = x - √x en el punto de abscisa x = 1 tiene por ecuación: 2y - x + 1 = 0. La ecuación de la recta tangente a la gráfica de la función f(x) = x²/(x + 1) en el punto de abscisa x = 1 es: 4y - 3x + 1 = 0. La recta tangente a la gráfica de la función f(x) = 1/x definida en el intervalo (0, ∞) por el punto en que la recta 2x - 2y + 3 = 0 corta a la gráfica de f(x) tiene por ecuación: 4x + y - 4 = 0. La recta a la gráfica de la función f(x) = 1/x definida en el intervalo (0, ∞) que es paralela a la recta 9x + y = 0 tiene por ecuación: 9x + y - 6 = 0. La recta tangente a la gráfica de la función f(x) = √x paralela a la recta x - y + 2 = 0 tiene por ecuación: x - y + 1/4 = 0. Si la tangente a la gráfica de la función f(x) en el punto de abscisa x = 2 tiene por ecuación 3x - 2y + 4 = 0, se verifica: f(2) = 5 y f'(2) = 3/2. La función f(x) = x³ - 3x es decreciente en el intervalo: [1, ∞). La función f(x) = 1/x definida para x ≠ 0 es decreciente en el intervalo [1, 2]. La función f(x) = (2 - 3x)³ es decreciente en los intervalos: (-∞, ∞). La función f(x) = 1 - x - 1/x es creciente en el intervalo: [-1, 0). La derivada segunda de la función f(x) = x³ - x² + x - 1 es igual a: 6x - 2. La derivada segunda de la función f(x) = 4√x - 1 definida para x > 1 es igual a: -(x - 1)⁻³/². La derivada segunda de la función f(x) = x/(1 + 1x) es igual a: -2(1 + y)⁻³. La derivada segunda de f(x) = x - 4√x en el punto de abscisa x = 4 vale: 1/8. La derivada segunda de la función f(x) = x/(2x - 1) cumple: f''(1) = 4. La función f(x) = x² - 3x + 5 tiene un mínimo relativo en: x = 3/2. La función f(x) = 2x³ - 3x² - 12x tiene un máximo relativo en el punto: x = -1. La función f(x) = √x - x definida para x > 0 tiene un máximo relativo en: x = 1/4. La función f(x) = x³ - 3x + 6 tiene un máximo relativo en el punto: x = -1. La función f(x) = 9x - 3x² - x tiene un mínimo relativo en el punto: x = -3. La función f(x) = x³ - 3x² tiene un máximo relativo en el punto: x = 0. La función f(x) = (x² - 1)/x tiene un máximo relativo en: x = -1. La función f(x) = x³ - x² en el intervalo [1, 2]: es convexa. La función f(x) = 1/(1 + x²) definida en el intervalo (0, ∞): no es cóncava ni convexa. La función f(x) = 1/x definida en el intervalo (0, ∞): es convexa. La función f(x) - (1 - x²)/(1 - x) cuando x → 1: tiene límite de 2. Si f es la función f(x) = 1/(1 + 2x) cuando x = 1/2 se cumple: no existe límite. Si f tiene un mínimo relativo en x = 0 y existe lim_x → 0 f(x), se verifica: lim_x → 0 f(x) ≥ f(0). Si f tiene un máximo relativo en x = 0 y existe lim_x → 0 f(x), se verifica: lim_x → 0 f(x) ≤ f(0). La función f(x) = (x - 1)² es continua en: x = 1 y x = 2. La función f(x) = x² + x + 1 es continua en todos los puntos. La función definida como f(x) = (1 - x²)/(1 - x) para x ≠ 1 y f(1) = c: es continua en x = 1 si c = 2. La función f(x) = x² si x < 1 es continua en x = 1 si c = 0. La función definida como f(x) = 1/(1 + x²): es continua en todos los puntos. La función definida por f(x) = x/(x - 1)² si x ≠ 1 y f(1) = 0: tiene una única discontinuidad. La función definida por f(1) = 1 y f(x) = x² - 1/x - 1 cuando x ≠ 1: tiene una única discontinuidad. La función definida por f(x) = 1 - x²/x + 1 si x ≠ -1 y f(-1) = c: es continua en x = -1 si c = 2.

FIN TEMA 4

Lanzamiento de una moneda dos veces: “obtener más caras que cruces”: 2 monedas. Lanzamiento de una moneda dos veces: “obtener alguna cara”: 2 monedas. Lanza una moneda tres veces: “obtener al menos dos caras”: 12 monedas. Lanza una moneda dos veces: “obtener más caras que cruces”: 12 monedas. Lanzamiento de una moneda tres veces: “por los ocho resultados posibles”: obtener al menos dos resultados consecutivos iguales. Lanzamiento de una moneda tres veces: “obtener más caras que cruces”: obtener al menos tantas cruces como caras. Lanzamiento de una moneda tres veces: “algún resultado es cara”: todos los resultados son cruz. Lanzamiento de una moneda dos veces consecutivas, espacio de posibilidades formado por los cuatro puntos: al menos un resultado es cara. Lanzamiento de un dado dos veces, posibilidad formada por los ocho posibles resultados: La diferencia entre el resultado del segundo lanzamiento y del primero es 2. Si el suceso A ha ocurrido, se puede asegurar: A ∪ B también ha ocurrido. Si el suceso A ∩ B^c ha ocurrido: A ha ocurrido. Si el suceso A^c ∩ B^c ha ocurrido: A ∪ B no ha ocurrido. Un dado está cargado de manera que “ocurren”: 0.4. Un dado está cargado de manera que “aparecen”: 0.1. Lanzamiento de un dado dos veces, probabilidad de “primer resultado sea mayor que el segundo”: 5/12. Lanzamos dos veces un dado equilibrado, probabilidad de resultado “doble” que el otro: 1/6. Lanzamos dos veces una moneda, si sabemos que ha aparecido alguna cara, probabilidad de que los dos resultados sean cara es: 1/3. Lanzamos dos veces una moneda equilibrada, probabilidad de obtener alguna cara: 3/4. Lanzamos tres veces una moneda equilibrada, probabilidad de “obtener alguna cara”: 7/8. Lanzamos tres veces una moneda equilibrada, probabilidad de “obtener dos resultados iguales” consecutivos es: 3/4. Se lanza un dado equilibrado dos veces, la probabilidad de que la suma de los resultados sea 7 es: 1/6. Cien personas se han clasificado: 0.10. Cien personas se han clasificado: 49/99. Cien personas se han clasificado, elegimos una persona al azar y no tiene el pelo negro: 7/12. De una urna con 3 bolas azules y 2 rojas: 3/5. De una urna con 2 bolas azules y 2 rojas: 0.4. De una urna con 5 bolas numeradas 1, 2, 3, 4 y 5: 1/2. Si P(A) = 0.2 y P(A ∩ B) = 0.1: 0.5. Si P(A) = 0.2 y P(B | A) = 0.6: 0.12. Si P(A) = 0.2, P(B) = 0.4 y P(A | B) = 0.1: 0.2. Si P(A) = 0.2, P(B) = 0.3 y P(A | B) = 0.1: 1/7. De una urna que contiene 3 bolas azules, 2 rojas y 1 verde: 2/5. Lanza un dado dos veces, si el primer resultado ha sido mayor que el segundo, probabilidad de que el primero sea 6 es igual a: 1/3. Lanzamos un dado dos veces, si la suma de los resultados es 7, probabilidad de que el primero sea un 6: 1/6. De una urna que contiene 4 bolas azules y 5 rojas, probabilidad de que la segunda sea azul: 1/2. De una urna que contiene 2 bolas azules, 5 rojas y 2 verdes: 0.5. De una urna que contiene 4 bolas azules y 5 rojas, probabilidad de que la segunda sea roja: 5/9. De una urna que contiene 4 bolas rojas y 2 azules, ¿cuál es la probabilidad de que sean de distinto color?: 8/15. Las monedas M₁ y M₂, probabilidad de que salga cara: 0.3. Las monedas M₁ y M₂, probabilidad de que se trate de la moneda M₂: 2/3. Tenemos tres urnas, “probabilidad de obtener dos bolas azules es: 1/5. Si P(A) = 0.4, P(B) = 0.5 y P(B | A) = 0.2: 0.25. De una urna que contiene 4 bolas azules y 5 rojas, probabilidad de que la primera haya salido azul es: 1/2.