Funciones y magnitudes: conceptos básicos y características

Funciones y Magnitudes

Llamamos magnitud a todo aquello que se puede medir. Como con cada medida varía el valor de la magnitud, se le suele llamar variable. Muchas veces podemos establecer relaciones entre magnitudes, y a esas relaciones matemáticas se les llama función.

Definición de una función

Una función es una relación entre dos variables a las que llamamos x (variable independiente) e y = f(x) (variable dependiente).

Los valores de la y dependen de los valores de la x, de modo que a cada valor de x le corresponde un único valor de y.

Decimos y = f(x) porque y está en función de x.

Expresión de una función

Podemos expresar la función de diferentes formas:

1. Con un enunciado
2. Con una tabla de valores
3. Con una gráfica
4. Con una expresión matemática

1. Enunciado: Una expresión en forma de texto que nos puede servir para expresar una función. Por ejemplo: "La aportación energética del jamón es de 335 kcal por cada 100g".

2. Tabla de valores: Una representación de pares de valores de las variables de la función (x, y).

3. Gráfica: A partir de la tabla de valores, podemos representar esos datos en una gráfica, en un sistema de coordenadas cartesianas, donde la variable independiente x irá en el eje X (eje de abscisas), y la variable dependiente y va en el eje Y (eje de ordenadas).

4. Expresión matemática: Podemos relacionar las dos variables de una función numéricamente mediante una expresión algebraica. Así, dado cualquier valor de la variable independiente, podemos hallar el valor de la variable dependiente.

Dominio de una función

El dominio de una función y = f(x), expresado como Dom(f), está formado por todos los valores en los que la función está definida. Es decir, es el conjunto de todos los valores de la variable independiente x que tienen imagen.

Para expresar el dominio de una función, tenemos que saber expresar conjuntos de números o partes de la recta, lo que se llaman intervalos. Gráficamente, si los enteros del intervalo pertenecen al conjunto que estamos expresando, pondremos un punto relleno, y si no pertenece, un punto hueco. Para expresarlo con paréntesis y corchetes, si el extremo pertenece al intervalo, pondremos un corchete, y si no, un paréntesis.

Características de una función

Creciente: Una función y = f(x) es creciente en un intervalo cuando, al aumentar la variable independiente x en ese intervalo, aumenta la variable dependiente y.

Decreciente: Una función y = f(x) es decreciente cuando, al aumentar la variable independiente x en ese intervalo, disminuye la variable dependiente y.

Máximo relativo: Una función y = f(x) tiene un máximo relativo en un punto cuando la ordenada en el punto es mayor que la ordenada de los puntos que la rodean. A la izquierda del máximo, la función es creciente, y a la derecha del máximo, la función es decreciente.

Mínimo relativo: Una función y = f(x) tiene un mínimo relativo en un punto cuando la ordenada en un punto es menor que la ordenada en los puntos que la rodean. A la izquierda del mínimo, la función es decreciente, y a la derecha del mínimo, la función es creciente.

Funciones lineales

Definición: Una función lineal, también llamada de PD, es aquella que tiene como expresión algebraica y = f(x) = mx, donde m≠0 es un factor llamado coeficiente.

Estas funciones lineales tienen las siguientes características:

• Su representación gráfica es una recta oblicua que pasa por el origen de coordenadas.
• Si m es positiva, la recta es creciente y pasa del 3º al 1º cuadrante.
• Si m es negativa, la recta es decreciente y pasa del 2º al 4º cuadrante.

Funciones afines

Definición: Las funciones afines tienen como expresión algebraica y = f(x) = mx + n, donde m≠0 es el coeficiente y n el término independiente.

Las funciones afines tienen las siguientes características:

• Su representación gráfica es una recta oblicua que pasa por el punto P(0, n) del eje de coordenadas, siendo n el término independiente.
• Si el coeficiente m es positivo (m>0), la recta es creciente y se orienta desde el 3º al 1º cuadrante.
• Si el coeficiente m es negativo (m<0), la recta es decreciente y se orienta desde el 2º al 4º cuadrante.

Ecuación punto-pendiente

Una recta queda perfectamente definida si conocemos su pendiente m y las coordenadas de uno de sus puntos P₁ (x₁, y₁). Con esos datos, si los llevamos a la fórmula de la pendiente y las coordenadas de un punto cualquiera desconocido, es m = (y - y₁) / (x - x₁) → m(x - x₁) = y - y₁.

Ecuación de la recta en su Punto-Pendiente → y - y₁ = m (x - x₁)

Ecuación explícita de la recta

Definición: La ecuación explícita de la recta se expresa como y = mx + n, donde m es la pendiente y n la ordenada en el origen. Para calcular la ecuación explícita, basta con despejar en la ecuación de la recta.

Pasar de Punto-Pendiente a Ecuación explícita → y - 1 = 2x - 2 → y = 2x - 2 + 1 → y = 2x - 1

Ecuación general de la recta

Definición: Si en cualquiera de las expresiones anteriores pasamos todos los términos al 1º miembro, tendremos la expresión Ax + By + C = 0, que es la ecuación general de la recta, donde A, B y C son coeficientes.

Funciones de 2º grado

Definición: Las funciones de 2º grado son aquellas que se expresan mediante la fórmula y = f(x) = ax² + bx + c, donde a, b y c son coeficientes numéricos y a≠0. Su gráfica es una curva cónica llamada parábola. Esta curva es, por ejemplo, la trayectoria que sigue una pelota en el lanzamiento de baloncesto.

Características:

• El coeficiente a determina la apertura de la parábola. Cuanto mayor valor absoluto tenga a, menor será la apertura.
• Si a es positivo, los brazos apuntan hacia arriba, y la parábola tiene un mínimo.
• Si a es negativo, la parábola va hacia abajo y la parábola tiene un máximo.
• El máximo o mínimo se le denomina vértice. La coordenada x del vértice viene dada por la fórmula X = -b / (2a).
• Para calcular la ordenada y del vértice, sustituiremos la coordenada de la x calculada en la ecuación general.
• Toda parábola tiene un eje de simetría vertical que pasa por su vértice. Podemos tener 3 casos:
  • a) Si b y c son 0, y = ax², el vértice de la parábola está en el origen de coordenadas.
  • b) Si b = 0, y = ax² + c, el vértice de la parábola está en el punto Y (0, c), donde c es el término independiente de la ecuación.
  • c) Si c = 0, la fórmula de la parábola es y = ax² + bx, pasa por el origen (0, 0) y tiene el vértice fuera de los ejes de coordenadas.