Funciones de Interpolación en el Método de Elementos Finitos (MEF)

1. ¿Qué son y para qué sirven las funciones de interpolación?

El MEF sólo calcula el desplazamiento de los nodos; el desplazamiento de todos los demás puntos lo obtiene a posteriori mediante interpolación. Esta interpolación la realiza utilizando las funciones de interpolación.

2. Dibujar las funciones de interpolación de un elemento triangular y rectangular de primer orden.

3. Dibujar la solución del ejemplo de la figura de la izquierda según los dos modelos de EF mostrados a la derecha.

4. Explicar la ecuación matemática que permite calcular la solución en cualquier punto del modelo a partir de las soluciones nodales. En base a ello, formular cómo se calcula la solución en el punto P del modelo de la figura.

La solución en cualquier punto con coordenadas {x} de un MEF se calcula como:

Para el modelo de la figura, la solución formulada resulta:

5. Explicar detalladamente para qué sirven las coordenadas naturales.

Las coordenadas naturales son las funciones de interpolación planteadas por el MEF en un sistema de coordenadas auxiliar.

El MEF representa el elemento finito mediante un elemento patrón en coordenadas naturales. En dichas coordenadas, la función de interpolación toma una expresión matemática sencilla que facilita y sistematiza el cálculo.

6. Dibujar el elemento patrón triángulo en coordenadas naturales, y escribir las expresiones matemáticas de sus funciones de interpolación en estas coordenadas.

7. Dibujar el elemento patrón cuadrilátero rectangular en coordenadas naturales, y escribir las expresiones matemáticas de sus funciones de interpolación en estas coordenadas.

8. Explicar las características de un elemento de orden superior, y sus ventajas y desventajas con respecto a un elemento lineal.

Los elementos de orden superior tienen mayor número de nodos, esto es, 2º orden tiene un nodo en medio de cada lado, 3º orden tiene dos...

Los elementos de 2º orden son de orden superior a los de 1º orden, la interpolación da como resultado una solución que se puede aproximar mejor a la solución real. Como contrapartida, los elementos de 2º orden tienen un mayor coste computacional por su mayor número de grados de libertad.

9. Dibujar las funciones de interpolación de un elemento triangular y rectangular de segundo orden.

10. Dibujar la solución del ejemplo de la figura de la izquierda según los modelos de EF mostrados a la derecha.