Funciones y Gráficas: Conceptos Clave y Representación

Funciones y sus Gráficas: Una Introducción Completa

Conceptos Básicos de Funciones

Una función es una relación entre dos variables, generalmente denominadas x e y.

• x es la variable independiente (por ejemplo, el tiempo).
• y es la variable dependiente (por ejemplo, la altura).
• La función asocia a cada valor de x un único valor de y. Se dice que y es función de x.

Representación Gráfica de Funciones

Para representar gráficamente una función, seguimos estos pasos:

1. Utilizamos ejes cartesianos:
   • El eje horizontal (eje de abscisas) representa la variable x.
   • El eje vertical (eje de ordenadas) representa la variable y.
2. Cada punto de la gráfica tiene dos coordenadas: su abscisa x y su ordenada y.
3. El dominio de definición de la función es el tramo de valores de x para los cuales hay valores de y.
4. Los ejes deben estar graduados con escalas adecuadas para cuantificar los valores de ambas variables.

Periodicidad de las Funciones

Las funciones periódicas son aquellas cuyo comportamiento se repite cada vez que la variable independiente recorre un cierto intervalo. La longitud de este intervalo se denomina periodo. Una función periódica queda completamente definida al conocer su comportamiento en un periodo.

Continuidad y Discontinuidades

Una función es continua si no presenta discontinuidades. Su gráfica se puede trazar sin levantar el lápiz del papel. Una función puede ser continua en un tramo, incluso si presenta discontinuidades en otros.

Expresión Analítica de una Función

La expresión analítica (una fórmula matemática) ofrece ventajas significativas:

• Permite describir la función de forma concisa y cómoda.
• Facilita la obtención precisa de valores de la función a partir de la variable independiente.

Sin embargo, la fórmula, por sí sola, no revela el comportamiento global de la función. Es necesario realizar cálculos, elaborar la función y representarla gráficamente para comprender su comportamiento completo.

Variaciones de una Función: Crecimiento, Decrecimiento, Máximos y Mínimos

• Una función es creciente cuando al aumentar la variable independiente x, aumenta la variable dependiente y.
• Una función es decreciente cuando al aumentar x, disminuye y.
• Un máximo en una función se presenta en un punto donde su ordenada es mayor que la de los puntos circundantes. A la izquierda del máximo, la función es creciente, y a su derecha, decreciente.
• Un mínimo en una función se presenta en un punto donde su ordenada es menor que la de los puntos circundantes. A la izquierda del mínimo, la función es decreciente, y a su derecha, creciente.