Fraccions, operacions i nombres decimals

Fraccions

La lletra a/b de la puntuació total. Utilitzem 1a fracció d 2 nombres enters, on b ≠ 0. Tots els nombres que es poden escriure com a fracció reben el nom de nombres racionals.

Operacions amb fraccions

Es diu que una fracció m/n és irreductible si el MCD (m, n) = 1.

❚ La suma de fraccions és la fracció que s'obté reduint al comú denominador i sumant els numeradors.
❚ El producte de fraccions es la fracció que s'obté multiplicant els numeradors i els denominadors.
❚ El quocient de dues fraccions es la fracció que resulta de multiplicar la primera per la fracció inversa de la segona.

Fraccions i nombres decimals

Tipus de nombres decimals
Podem expressar qualsevol fracció com un nombre decimal si dividim el numerador pel denominador.
❚ Si el denominador de la fracció irreductible conté en la seva descomposició factorial només els factors primers 2 o 5, el nombre decimal que resulta és exacte.
❚ Si el denominador de la fracció irreductible no conté en la seva descomposició els factors 2 i 5, el nombre decimal que resulta és un nombre decimal periòdic pur.
❚ Si el denominador de la fracció irreductible conté en la seva descomposició altres factors primers a més del 2 o del 5, diem que el resultat és un nombre decimal periòdic mixt.
En dividir el numerador pel denominador d'una fracció, es pot obtenir un nombre enter, un nombre decimal exacte o un nombre decimal periòdic pur o mixt.

Fraccions generatrius
Si coneixem un nombre decimal exacte o periòdic, podem calcular la fracció l'expressió decimal de la qual coincideix amb aquest nombre.
❚ Si el nombre decimal és exacte, multipliquem per la unitat seguida de tants zeros com xifres decimals tinga l'expressió decimal i aïllem.
❚ Si el nombre decimal és periòdic pur, multipliquem per la unitat seguida de tants zeros com xifres decimals tinga el període i restem les igualtats per a aïllar.
❚ Si el nombre decimal és periòdic mixt, multipliquem per la unitat seguida de tants zeros com xifres decimals tinga l'anteperíode i el període. Tornem a multiplicar per la unitat seguida de tants zeros com xifres decimals no periòdiques tinga el nombre decimal. Restem les igualtats obtingudes i aïllem.
Tot nombre decimal exacte o periòdic pot expressar-se en forma de fracció. La fracció irreductible equivalent a aquesta s'anomena fracció generatriu.

Nombres racionals i irracionals

❚ Els nombres l'expressió decimal dels quals té infinites xifres sense cap periodicitat reben el nom de nombres irracionals.
❚ Els nombres que són racionals o irracionals s'anomenen nombres reals. Aquests nombres es representen en la recta real.

Intervals
Els nombres 2,1; 2,5; 2,68697... i 2,999 estan compresos entre 2 i 3. Diem que aquests nombres pertanyen a l'interval obert (2, 3), és a dir, al conjunt format pels nombres reals més grans que 2 i més xicotets que 3.
Un interval és un conjunt de nombres reals compresos entre dos nombres anomenats extrems.
Hi ha diferents tipus d'intervals segons si els extrems estan inclosos o no. També es poden expressar mitjançant intervals els conjunts de valors més grans o més xicotets que un nombre.

Aproximacions

Truncar un nombre decimal a un determinat ordre consisteix a eliminar totes les xifres decimals dels ordres inferiors a aquest.
Arrodonir un nombre decimal a un determinat ordre consisteix en el fet de:
❚ Si la xifra decimal de l'ordre inferior és més xicoteta que 5, truncar el nombre a aquest ordre decimal.
❚ Si la xifra decimal de l'ordre inferior és més gran o igual que 5, truncar el nombre a aquest ordre decimal i sumar-li una unitat decimal del mateix ordre.

Error absolut i error relatiu
Quan diem que els preus són 1 €, 5 € i 100 €, usem aproximacions que difereixen dels preus reals en 0,10 €, en 0,05 € i en 0,10 €, respectivament. Aquests valors mesuren l'error absolut comes en cada cas.
Si el valor a és una aproximació del nombre x, la diferència en valor absolut dels dos nombres s'anomena error absolut.
Error absolut = | x − a |
Podem observar que l'error absolut que cometem en aproximar el preu de la piruleta i de l'abric coincideix: 0,10 €. Per a comparar l'error comes segons el nombre que hem aproximat en cada cas, calculem l'error relatiu:
| 0,90−1|
| 0,90 |
=
0,1
0,9
= 0,11…→11%
| 99,90−100 |
| 99,90 |
0,1
=
99,9
Segons els resultats que hem obtingut, deduïm que l'error comes en aproximar el preu de la piruleta és relativament més gran que el de l'aproximació que hem fet per a l'abric.
L'error relatiu comes en emprar una aproximació, a, d'un nombre, x, és el quocient entre l'error absolut i el valor absolut del nombre. S'expressa com a percentatge.
Error relatiu =
14
| x −a |
| x |
= 0,001…→ 0,1%