Fórmulas Clave de Geometría Analítica y Cálculo

Geometría Analítica

Ángulos en el Espacio

Cos(u,v) = u⋅v / (|u||v|)

Distancia Entre Dos Puntos

A(x₀,y₀,z₀) y B(x₁,y₁,z₁)      d(A,B) = √((x₁-x₀)²+(y₁-y₀)²+(z₁-z₀)²)

Distancia Punto-Recta

A(x₀,y₀,z₀)  y  r {P=(x₁,y₁,z₁), v=(v₁,v₂,v₃) d(A,r) = |v x AP| / |v|

Distancia Punto-Plano

A(x₀,y₀,z₀)  y π: Ax+By+Cz+D=0 d(A,π) = |Ax₀+By₀+Cz₀+D| / √(A²+B²+C²)

Distancia Entre Dos Rectas

r {P=(x₀,y₀,z₀), v=(v₁,v₂,v₃)}               s{P'=(x₁,y₁,z₁), w=(w₁,w₂,w₃)}

1. Si son paralelas se calcula d(P,s) ó la d(P',r)

2. Si se cruzan: d(r,s) = |[PP',u,v]| / |u x v|

Distancia Recta-Plano

r {P=(x₁,y₁,z₁), v=(v₁,v₂,v₃)}  y  π: Ax+By+Cz+D=0 d(r, π)=d(P, π)

Distancia Entre Dos Planos

π: Ax+By+Cz+D=0 y π': A'x+B'y+C'z+D'=0 d(π , π') = d(P, π) con P punto del plano π

Cálculo

Asíntotas

Asíntota Vertical: Se calcula el límite cuando x tiende a los puntos que no pertenezcan al dominio con resultado ±∞, la asíntota es x=x₀

Asíntota Horizontal: Se calcula el límite cuando x tiende a infinito con resultado cualquier número finito, la asíntota es y=k (resultado del límite)

Asíntota Oblicua: y=mx+n, siendo m el límite cuando x tiende a infinito de f(x)/x, y la n es el límite cuando x tiende a infinito de f(x) - mx. NOTA: Si la función tiene asíntota vertical no tiene oblicua.

Teoremas Fundamentales

Teorema de Bolzano: Si una función es continua en un intervalo cerrado [a,b] y toma valores de signo contrario en los extremos del intervalo, entonces existe un punto interior al intervalo, c, cuya imagen es 0, es decir, f(c)=0

Teorema de Weierstrass: Si una función f(x) es continua en un intervalo cerrado [a,b], existen en ese intervalo dos puntos en los que la función alcanza, respectivamente, sus valores máximo y mínimo.