Formas Cuadráticas: Clasificación y Propiedades

Formas Cuadráticas

Una forma cuadrática de n variables es una aplicación Q: Rⁿ → R dada por:

Q(x) = a₁₁x₁² + a₂₂x₂² + ... + a_nnx_n² + a₁₂x₁x₂ + a₁₃x₁x₃ + ... + a_1nx₁x_n + a₂₃x₂x₃ + a₂₄x₂x₄ + ... + a_2nx₂x_n + ... + a_(n-1)nx_n-1x_n

Siendo a_ij escalares para i, j = 1, 2, ..., n y x₁, x₂, ..., x_n las coordenadas del vector x respecto de una base (si no se especifica la base, se supondrá que es la canónica).

Notas:

1. La imagen de un vector respecto de una forma cuadrática viene dada por un "polinomio de segundo grado con todos los monomios de segundo grado" en el que las indeterminadas son las coordenadas del vector.
2. Es posible escribir una forma cuadrática en "notación matricial" de la forma Q(x) = X^tAX, siendo X la matriz columna formada por las coordenadas del vector x y A una matriz cuadrada que se puede conseguir que sea simétrica.

Cambio de Coordenadas en una Forma Cuadrática

Dada la forma cuadrática Q(x) = X^tAX, siendo X las coordenadas del vector x respecto de una base, se considera el cambio de base/coordenadas dado por la igualdad X = PY, donde Y son las coordenadas respecto de otra base y P es una matriz cuadrada regular.

Sustituyendo en la forma cuadrática se tiene Q(x) = X^tAX = (PY)^tA(PY) = Y^tP^tAPY; por tanto, la expresión de Q respecto de la nueva base es Q(x) = Y^tBY, siendo B = P^tAP.

Matrices Congruentes

Dos matrices A y B son congruentes si son matrices asociadas a una misma forma cuadrática; es decir, si existe una matriz P regular tal que B = P^tAP.

Forma Canónica-Diagonal

La forma cuadrática Q(x) = X^tAX viene dada por una expresión canónica-diagonal si A es una matriz diagonal o, lo que es lo mismo, si en notación polinómica cada uno de los monomios tiene una única indeterminada (no hay términos en x_ix_j).

Clasificación de Formas Cuadráticas

La forma cuadrática Q(x) = X^tAX es:

• Definida positiva (DP) si Q(x) > 0 ∀ x ∈ Rⁿ - {0}
• Definida negativa (DN) si Q(x) < 0 ∀ x ∈ Rⁿ - {0}
• Semidefinida positiva (SDP) si Q(x) ≥ 0 ∀ x ∈ Rⁿ
• Semidefinida negativa (SDN) si Q(x) ≤ 0 ∀ x ∈ Rⁿ
• Indefinida (I) si existen x, y ∈ Rⁿ tales que Q(x) < 0 y Q(y) > 0

Proposición

La forma cuadrática Q(x) = X^tDX con D = diag(d₁, d₂, ..., d_n) es:

• DP si d_i > 0 ∀ i = 1, 2, ..., n
• DN si d_i < 0 ∀ i = 1, 2, ..., n
• SDP si d_i ≥ 0 ∀ i = 1, 2, ..., n y al menos existe un d_j = 0
• SDN si d_i ≤ 0 ∀ i = 1, 2, ..., n y al menos existe un d_j = 0
• I si existen i, j tales que d_i < 0 y d_j > 0

A) Método de los Valores Propios

Teorema: Toda forma cuadrática Q(x) = X^tAX, con A matriz simétrica, se puede escribir mediante una expresión diagonal Q(x) = λ₁y₁² + λ₂y₂² + ... + λ_ny_n², siendo λ_i los valores propios de A.

Demostración: Al ser A simétrica es diagonalizable de forma ortogonal; es decir, existen D diagonal y P ortogonal tales que D = P^tAP.

Considerando el cambio de coordenadas dado por la matriz P (X = PY), la forma cuadrática se expresa Q(x) = X^tAX = (PY)^tA(PY) = Y^tP^tAPY = Y^tDY = λ₁y₁² + λ₂y₂² + ... + λ_ny_n².

Proposición

La forma cuadrática Q(x) = X^tAX con A matriz simétrica es:

• DP si todos los valores propios de A son positivos.
• DN si todos los valores propios de A son negativos.
• SDP si todos los valores propios de A son no negativos y al menos uno es nulo.
• SDN si todos los valores propios de A son no positivos y al menos uno es nulo.
• I si A tiene al menos un valor propio positivo y uno negativo.

B) Método de los Menores Principales

Proposición: Sea Q(x) = X^tAX una forma cuadrática, con A simétrica. Considerando los menores principales de A (|A₁| = |a₁₁|, |A₂| = |[[a₁₁, a₁₂],[a₂₁, a₂₂]]|, ..., |A_n| = |A|), se tiene:

1. Q es DP ⇔ |A_i| > 0 ∀ i = 1, 2, ..., n
2. Q es DN ⇔ (-1)ⁱ|A_i| > 0 ∀ i = 1, 2, ..., n
3. |A_i| > 0 ∀ i = 1, 2, ..., n-1 y |A_n| = 0 ⇒ Q es SDP
4. (-1)ⁱ|A_i| > 0 ∀ i = 1, 2, ..., n-1 y |A_n| = 0 ⇒ Q es SDN
5. |A_n| ≠ 0 y Q no es DP ni DN ⇒ Q es I
6. |A_n| = 0, |A_i| ≠ 0 ∀ i = 1, 2, ..., n-1 y no se verifican las condiciones suficientes para ser SDP o SDN ⇒ Q es I

Restricción de una Forma Cuadrática

En algunos casos se necesita conocer el signo de una forma cuadrática Q(x), pero no para todos los vectores de Rⁿ, sino únicamente para algunos x ∈ L, siendo L un subconjunto de Rⁿ.

Dado L = {x ∈ Rⁿ | BX = 0, con X coordenadas de x}, si rg(B) = m, entonces en el sistema BX = 0 se pueden despejar m variables en función de las n-m restantes y sustituirlas en Q(x), obteniéndose otra forma cuadrática Q* cuya clasificación, según su signo, coincide con el "signo de Q restringida a L".

Método de la Matriz Orlada

Dada la forma cuadrática Q(x) = X^tAX restringida a BX = 0, donde A ∈ M_n y B ∈ M_mxn se tiene:

1. Si |[[A_r, B_mr^t],[B_mr, 0]]| (para todo r = m+1, ..., n) tienen el mismo signo que (-1)^m, entonces Q(x) restringida a BX = 0 es DP.
2. Si |[[A_r, B_mr^t],[B_mr, 0]]| (para todo r = m+1, ..., n) tienen signos alternos, comenzando por el de (-1)^m+1, entonces Q(x) restringida a BX = 0 es DN.

Siendo A_r la matriz formada por las r primeras filas y columnas de A y B_mr la matriz formada por las r primeras columnas de B.