Expresiones Algebraicas y Ecuaciones: Conceptos y Resolución

Expresiones Algebraicas y Ecuaciones

Expresiones Algebraicas

Una expresión algebraica es una combinación de números y letras unidos por los signos de las operaciones aritméticas. Las letras se denominan variables.

Monomios

Un monomio es una expresión algebraica en la que las únicas operaciones que afectan a las variables son la multiplicación y la potenciación de exponente natural. Los monomios que tienen la misma parte literal se denominan semejantes.

Polinomios

Un polinomio es una expresión algebraica formada por la suma o diferencia de dos o más monomios. Se llama grado de un polinomio al mayor de los grados de los monomios que lo forman.

División de Polinomios

Un monomio es divisible por otro cuando al dividir se obtiene otro monomio. Para dividir un polinomio por un monomio, se divide cada uno de sus términos por el monomio divisor. Un polinomio es divisible por un monomio si el cociente obtenido es otro polinomio.

Regla de Ruffini

Es una forma abreviada para dividir un polinomio P(x) entre un binomio de la forma x-a (o x+a).

Teorema del Resto

El resto que queda al dividir un polinomio P(x) entre x-a, coincide con el valor numérico del polinomio para x=a, P(a). Cuando al dividir un polinomio P(x) entre x-a, el resto es 0 (equivale a que P(a)=0), la división es exacta y decimos que a es una raíz del polinomio. Las posibles raíces de un polinomio se encuentran entre los divisores de su término independiente. Las raíces de un polinomio son los valores de "x" que hacen que el polinomio valga 0.

Ecuaciones

Identidades: son expresiones algebraicas con una igualdad que se cumple para cualquier valor de las variables.

Ecuaciones: son igualdades entre expresiones algebraicas que se cumplen para determinados valores de las variables denominadas soluciones. Si dos ecuaciones tienen las mismas soluciones, se dice que son equivalentes.

Ecuaciones de Primer Grado

Son las que se pueden reducir a la forma ax=b (el exponente de la incógnita es 1).

Ecuaciones de Segundo Grado

Son las que se pueden reducir a la forma ax²+bx+c=0. Cuando a, b y c son distintos de cero, decimos que la ecuación es completa y se resuelve mediante la fórmula. A la expresión b²-4ac se le llama discriminante de la ecuación de segundo grado:

• Cuando el discriminante es positivo, la ecuación tiene dos soluciones.
• Cuando el discriminante es 0, la ecuación tiene una solución (doble).
• Cuando el discriminante es negativo, la ecuación no tiene solución.

Cuando los coeficientes b o c son 0, se dice que la ecuación es incompleta y se resuelve sacando factor común x.

Ecuaciones Bicuadradas

Son las que se pueden reducir a la forma ax⁴+bx²+c=0. Para resolverlas se hace un cambio de variable: z=x²; z²=x⁴; az²+bz+c=0. Se resuelve esta ecuación de segundo grado y así conocemos "z". También permite resolver ecuaciones de la forma: ax⁶+bx³+c=0.

Ecuaciones Radicales

Son aquellas en las que la incógnita aparece debajo de una raíz. Para resolverla, se aísla el radical en uno de los dos miembros y después elevamos los dos miembros de la ecuación al cuadrado, se resuelve, después se hace la comprobación y se pone la solución.

Sistemas de Ecuaciones: Métodos de Resolución

Método de Sustitución

1. Despejo una de las incógnitas del sistema.
2. En la otra ecuación, sustituyo la incógnita que había despejado.
3. Resuelvo la ecuación.
4. Obtenido el valor de una incógnita, sustituyo su valor en el despeje del paso "1".

Método de Reducción

1. Este sistema tiene el objetivo de eliminar una incógnita multiplicando las ecuaciones por un número determinado.
2. Calculo la incógnita "x". Para conocer la incógnita "y", sustituyo su valor en cualquiera de las ecuaciones del sistema.