Explorando Razones, Proporciones, Álgebra y Ecuaciones: Fundamentos Matemáticos
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T.4: Razones y Proporciones
Razones
La razón de los números a y b es la fracción a/b irreducible.
Proporciones
Una proporción es la igualdad de dos razones: a/b = c/d
Cálculo del término desconocido de una proporción
Para calcular el término desconocido en una proporción a/b = c/d, se aplica esta propiedad de las fracciones equivalentes: el producto de los extremos a y d es igual al producto de los medios b y c.
a/b = c/x; a * x = b * c; x = (b * c) / a
Magnitudes Directamente Proporcionales
En magnitudes directamente proporcionales, multiplicando (o dividiendo) por el mismo número dos valores correspondientes, se obtienen otro par de valores correspondientes.
Resolución de problemas: Método de reducción a la unidad
Consiste en calcular primero el valor asociado a la unidad en la tabla de valores correspondientes. Conociendo ese dato, no hay dificultad en completar cualquier otro par de valores correspondientes.
Otras relaciones en las tablas de proporcionalidad directa
Dos pares de proporcionalidad directa, dos pares de valores correspondientes, forman una proporción.
Resolución de problemas: Regla de tres
Se ordenan los datos y la incógnita. Se construye la proporción con los términos en el orden en que aparecen. Se calcula el término desconocido de la proporción.
La constante de proporcionalidad
En la proporcionalidad directa, el cociente de dos valores correspondientes es siempre el mismo. Al valor de ese cociente se le llama constante de proporcionalidad.
Magnitudes Inversamente Proporcionales
En las magnitudes inversamente proporcionales, si se multiplican o dividen los valores de una magnitud por un número, el valor correspondiente de la otra magnitud queda dividido o multiplicado por dicho número.
Los Porcentajes
Un porcentaje indica una proporcionalidad.
Cálculo de un porcentaje
Para calcular un determinado porcentaje de una cantidad, se multiplica la cantidad por el tanto por ciento y se divide entre 100.
Un porcentaje es una fracción: a% de c = (a/100) de c = (c * a) / 100
Porcentaje como número decimal
Para calcular un porcentaje, se multiplica el total por el tanto por ciento expresado en forma decimal.
T.5: Álgebra
Monomios
Es el producto de un valor conocido (coeficiente) por uno o varios desconocidos representados por letras (parte literal).
Grado de un monomio
Es el número de factores que forman la parte literal.
Valor numérico de un monomio
Es el número que resulta al sustituir las letras por valores concretos.
Monomios semejantes
Se dice que dos monomios son semejantes si tienen la misma parte literal.
Suma de monomios
Dos monomios solo se pueden sumar si son semejantes. En ese caso, se suman los coeficientes dejando la misma parte literal. Si los monomios no son semejantes, la suma queda indicada.
División de monomios
Teniendo en cuenta que las letras representan números, en las operaciones con expresiones algebraicas se conservan todas las propiedades de las operaciones numéricas.
Polinomios
La suma o resta indicada de dos monomios es un binomio. La suma o resta indicada de tres monomios es un trinomio. En general, la suma o resta de monomios es un polinomio.
Grado de un polinomio
Es el mayor de los grados de los monomios que lo forman.
Productos Notables
- Cuadrado de una suma: (a + b)² = a² + 2ab + b²
- Cuadrado de una diferencia: (a - b)² = a² - 2ab + b²
- Suma por diferencia: (a + b) * (a - b) = a² - b²
T.6: Ecuaciones
Significado y utilidad
¿Qué es resolver una ecuación?
Es encontrar el valor o los valores que deben tomar las letras para que la igualdad sea cierta.
Transposición de términos
Al sumar o restar, multiplicar o dividir el mismo número en los dos miembros de una ecuación, se obtiene otra ecuación equivalente. La transposición de términos permite despejar la incógnita, es decir, dejarla sola en un miembro de la igualdad, lo que equivale a resolver la ecuación.
Resolución de ecuaciones sencillas
Para transformar una ecuación en otra equivalente más sencilla, utilizaremos dos recursos: reducir sus miembros y transponer los términos.
Ecuaciones con denominadores
Para eliminar los denominadores en una ecuación, se multiplican ambos miembros por el mínimo común múltiplo de todos ellos.
La ecuación cuadrática
ax² + bx + c = 0; x = (-b ± √(b² - 4ac)) / 2a