Explorando las Funciones Reales: Características, Tipos y Límites

Funciones Reales de Variable Real

Una función real de variable real es una relación especial que se establece entre dos conjuntos llamados "x" e "y" de números reales. Esta relación viene determinada por una fórmula matemática. La característica especial de esta relación es que cada elemento del conjunto inicial "x" debe tener una única imagen en la función.

Clases de Funciones

• Funciones Polinómicas:
  • 1er grado: y=mx+b. Para representarlas, solo necesitamos conocer 2 puntos, o sabiendo m (pendiente de la recta) y b (punto de corte con el eje "y"). Siendo alfa el ángulo que forma la recta con la parte positiva del eje de las x.
  • 2do grado: Se representan con una parábola.
  • Mayor grado de dos: No tienen problema en su dominio, ya que no tienen denominadores ni raíces de índice par, y se representan casi como montañas y valles.
• Funciones Logarítmicas: y=Lx. Estas funciones tendrán problemas cuando lo que está delante del logaritmo sea negativo o valga cero.
• Funciones Trigonométricas: Son periódicas. No suelen tener problemas las del seno y coseno, pero sí la de la tangente (tg).
• Funciones con Valores Absolutos: El valor absoluto de "algo" quiere decir que ese algo tiene que ser siempre positivo. Cuando es positivo, se deja igual, pero cuando sea negativo, se convierte en positivo poniendo un signo menos delante.
• Funciones a Trozos.
• Funciones Exponenciales.
• Funciones Constantes.

Estudio de una Función

Estudiar una función es averiguar sus características y representarla gráficamente. Las principales son:

• Dominio: Son todos los valores que puede tomar x para los cuales la función tiene una imagen real. Hay que tener en cuenta los problemas que surgen en denominadores (los valores de "x" que anulan el denominador no pertenecen al dominio) y cuando los valores de "x" hacen que el radicando sea negativo (los valores de "y" serán no reales y tampoco pertenecerán al dominio), o por la propia naturaleza de la función.
• Puntos de corte con los ejes:
  • Con OY: y=f(x) cuando x=0
  • Con OX: y=f(x) cuando y=0
• Crecimiento y Decrecimiento: Una función es creciente cuando la primera derivada de f(x) es positiva, y decreciente cuando es negativa. Por lo tanto, para estudiar el crecimiento y decrecimiento, se hace un estudio de signos en la primera derivada.
• Máximos y Mínimos: Una función tiene máximos o mínimos en los valores que anulan la primera derivada. Para averiguar si esos puntos son máximos o mínimos, se evalúa la segunda derivada: si es positiva (mínimo) o negativa (máximo).
• Puntos de Inflexión.
• Concavidad y Convexidad.
• Continuidad.
• Periodicidad.
• Simetría.
• Puntos Singulares.

Límites

El concepto de límite es un concepto de proximidad.

lim f(x) = K cuando x -> x₀

El límite de la función f(x) cuando x tiende a x subcero es K. Se debe entender: ¿A qué valor se acerca infinitamente f(x) cuando la (x) se aproxima por ambos lados a x₀? La respuesta es a K.

Indeterminaciones

Las indeterminaciones son los puntos de la función complicados donde se utilizan los límites. Existen los siguientes:

a) Primera clase:

b) Segunda clase:

?-?//0·(

)//0/0//

//1?//0?//(

)