Explorando Ángulos, Triángulos y Figuras Geométricas: Propiedades y Cálculos

Conceptos Fundamentales de Ángulos

• Ángulo cóncavo: Su amplitud es mayor que 180° y menor que 360°.
• Ángulo convexo: Su amplitud es menor que 180°.
• Ángulos complementarios: La suma de sus amplitudes es igual a 90°.
• Ángulos suplementarios: La suma de sus amplitudes es igual a 180°.
• Ángulos adyacentes: Tienen un lado en común y los otros dos lados son semirrectas opuestas. Son suplementarios.
• Ángulos opuestos por el vértice: Sus lados son semirrectas opuestas, y son iguales.
• Ángulos correspondientes: Son iguales y deben cumplir con la condición de ser uno interno y otro externo, encontrándose sobre la misma región de la transversal (derecha o izquierda).
• Ángulos alternos: Son ángulos iguales que deben cumplir con la condición de ser cruzados y ambos internos o ambos externos.
• Ángulos conjugados: Son ángulos suplementarios que deben cumplir con la condición de encontrarse en la misma región de la transversal y ambos ser internos o externos.

Elementos y Propiedades de los Triángulos

• Elementos: Vértices, lados, ángulos internos y externos.
• Propiedad triangular: La longitud de cada lado de un triángulo es menor que la suma de las longitudes de los otros dos y mayor que su diferencia positiva. Al lado de mayor longitud se opone el ángulo de mayor amplitud, y viceversa.

Clasificación de Triángulos

Según sus lados:

• Escaleno: 3 lados distintos.
• Isósceles: Dos lados iguales.
• Equilátero: 3 lados iguales.

Según sus ángulos:

• Rectángulo: Un ángulo recto.
• Oblicuángulo: No tiene ningún ángulo recto.
  • Acutángulo: 3 ángulos agudos.
  • Obtusángulo: Un ángulo obtuso.

Propiedades de los Ángulos de un Triángulo

1. La suma de las amplitudes de los ángulos interiores es 180 grados.
2. A lados iguales se oponen ángulos iguales.
3. Un ángulo interior y el exterior correspondiente son suplementarios.
4. Un ángulo exterior es igual a la suma de las amplitudes de dos ángulos interiores no adyacentes.
5. La suma de las amplitudes de los ángulos exteriores es 360 grados.

Teorema de Pitágoras

En un triángulo rectángulo, el cuadrado de la longitud de la hipotenusa (h) es igual a la suma de los cuadrados de las longitudes de los catetos (a y b): a² + b² = h². La suma de los ángulos interiores de un triángulo rectángulo es 180°, y la suma de los otros dos ángulos (no rectos) es 90°.

Puntos Notables de un Triángulo

• Mediatriz: Circuncentro. Se encuentra en la mitad de los lados del triángulo.
• Bisectriz: Incentro. Se encuentra en la mitad de los ángulos del triángulo.
• Mediana: Baricentro. Une el punto medio de un lado con el vértice opuesto.
• Altura: Ortocentro. Es la perpendicular trazada desde un vértice al lado opuesto.

Perímetro y Área

Perímetro: Es la suma de las longitudes de todos los lados de una figura.

Área/Superficie: Es la extensión que ocupa una figura en el plano, medida comparándola con una unidad de medida.

Fórmulas de Área

• Triángulo: (base × altura) / 2
• Cuadrado: lado × lado
• Rectángulo: base × altura
• Rombo y Romboide: (diagonal 1 × diagonal 2) / 2
• Trapecio: ((base 1 + base 2) × altura) / 2

Al cortar un paralelogramo por una de sus diagonales, se divide en dos triángulos con la misma base y altura que el paralelogramo. El área de un triángulo puede calcularse como la mitad del área de un paralelogramo con igual base y altura.