Exploración de Números Reales, Espacios Vectoriales y Geometría Analítica

Números Reales y Proporciones

Los números reales se corresponden con los puntos de una recta, fijados en un origen (0) y una unidad de medida (1). Permiten describir el universo físico y el espacio geométrico. El conjunto de todos los números reales se denota como R.

Z representa el conjunto de todos los números enteros sin decimales. Q es el conjunto de los números racionales, que son el cociente de dos números enteros (m/n, donde n ≠ 0). Los números reales no enteros son los números racionales.

Los números irracionales tienen una expresión decimal no periódica y son números reales pero no racionales (ej: π). Aparecen cuando la raíz cuadrada de un número no es un cuadrado perfecto.

Proporciones

La proporción entre dos números se define como la razón entre el máximo y el mínimo de ambos: p(a,b) = max{a,b} / min{a,b}. La proporción entre dos segmentos es la proporción entre sus longitudes.

Proporción Áurea

La proporción áurea (o divina) es un número irracional, denotado por φ, que se define como a/b = (a+b)/a = 1 + (1/φ). Su valor aproximado es 1.618... Se obtiene como solución de la ecuación φ² = 1 + φ, siendo φ = (1 + √5) / 2.

El corte áureo se utiliza en dibujo y diseño. La proporción de un rectángulo se define como p(R) = max{a,b} / min{a,b}. Esta proporción se relaciona con la semejanza de triángulos y depende solo de la razón entre sus lados.

Un rectángulo en proporción áurea no puede dividirse en subrectángulos con la misma proporción. Los rectángulos en proporción áurea son los únicos para los cuales la recta que pasa por dos vértices opuestos corta también al vértice de un rectángulo adyacente igual, colocado verticalmente.

Espacios Vectoriales

Rⁿ es el conjunto de todas las n-uplas ordenadas de números reales (x₁, x₂, ..., x_n). Estas n-uplas representan puntos en un espacio n-dimensional. Un vector n-dimensional es un elemento de Rⁿ, representado mediante un segmento orientado (flecha) con cierta longitud.

Operaciones con Vectores

• Suma de vectores (u+v): Corresponde a la ley del paralelogramo.
• Producto por un escalar (Lu): Tiene la misma dirección que u y el mismo sentido si L > 0.

Un espacio vectorial es cualquier conjunto de elementos (vectores) que pueden sumarse y multiplicarse por escalares, respetando ciertas propiedades.

Producto Escalar

El producto escalar (u·v) se utiliza para medir distancias y ángulos: u·v = u₁v₁ + ... + u_nv_n. La longitud (o módulo) de un vector es ||u|| = √(u·u). Un vector unitario tiene longitud 1. El ángulo entre dos vectores se calcula con cos(u,v) = (u·v) / (||u|| ||v||). Dos vectores son ortogonales si su producto escalar es 0.

Combinación Lineal

Una combinación lineal de un conjunto de vectores S = {v₁, v₂, ..., v_m} es una expresión de la forma L₁v₁ + L₂v₂ + ... + L_mv_m. Si todo vector de Rⁿ puede obtenerse como combinación lineal de los elementos de S, se dice que S genera Rⁿ.

Dependencia e Independencia Lineal

Un conjunto de vectores es linealmente dependiente si existe una combinación lineal de esos vectores con coeficientes no todos nulos que da como resultado 0. En caso contrario, es linealmente independiente.

Bases y Dimensión

Un conjunto linealmente independiente y generador es una base de Rⁿ. La dimensión de un espacio vectorial es el número de vectores que forman una base. La base canónica de R² es {(1,0), (0,1)} y la de R³ es {(1,0,0), (0,1,0), (0,0,1)}.

Una base ortogonal está formada por vectores ortogonales entre sí, y una base ortonormal está formada por vectores ortogonales y unitarios.

Variedades Lineales

Las variedades lineales son objetos geométricos como rectas y planos. Un conjunto V ⊂ Rⁿ es una variedad lineal si toda combinación lineal de elementos de V produce un vector de V. También se conocen como subespacios vectoriales.

Geometría Analítica

La geometría analítica utiliza ecuaciones para describir objetos geométricos. Las ecuaciones implícitas son sistemas de ecuaciones lineales homogéneas. Las ecuaciones paramétricas son soluciones genéricas de estos sistemas.

Matrices

Una matriz es una herramienta básica en el cálculo con vectores. El rango de una matriz A coincide con la dimensión de la variedad generada por sus vectores fila, la dimensión de la variedad generada por sus vectores columna y el orden del mayor menor no nulo de A.

Una matriz cuadrada A de tamaño n x n es invertible si y solo si su determinante es distinto de 0, es decir, si rg(A) = n.

Aplicaciones Lineales

Una aplicación o función f de Rⁿ en R^m es una regla que asocia a cada elemento v de Rⁿ un elemento f(v) de R^m. Una aplicación es inyectiva si elementos distintos tienen imágenes distintas, suprayectiva si todo elemento de R^m es imagen de algún elemento de Rⁿ, y biyectiva si es ambas.

Una aplicación lineal respeta las operaciones vectoriales y se verifica que f(u+v) = f(u) + f(v) y f(Lv) = Lf(v). Las aplicaciones lineales se pueden representar mediante matrices.

Sistemas de Ecuaciones Lineales

Un sistema de ecuaciones lineales puede tener ninguna solución (SI), una solución única (CD) o infinitas soluciones (CI). Si el determinante de la matriz de coeficientes es distinto de 0, el sistema tiene una solución única. La regla de Cramer y el método de Gauss son métodos para resolver sistemas de ecuaciones lineales.

Interpolación

La interpolación es la obtención de nuevos puntos a partir de un conjunto discreto de puntos. El polinomio interpolador de Lagrange es una solución al problema de interpolación. La interpolación segmentaria o a trozos se utiliza cuando el grado del polinomio es grande.

Espacio Afín

El plano afín es el conjunto R² con elementos de puntos (x,y) y vectores de posición p = (x,y). El espacio afín tridimensional es el conjunto R³ con elementos de puntos P = (x,y,z) y vectores de posición p = (x,y,z). La estructura vectorial da soporte a la estructura afín.

Referencias Afines

Una referencia afín es un sistema de ejes cuyo origen se fija en un punto cualquiera del espacio. La referencia canónica del espacio afín R³ es {0, C}, donde 0 = (0,0,0) y C es la base canónica del espacio vectorial R³.

Un objeto geométrico es un subconjunto de R² o R³. Las variedades lineales afines son rectas y planos. Las variedades afines no lineales son curvas y superficies.

La interpretación vectorial del espacio considera que todas las variedades lineales pasan por el origen 0. En la interpretación afín, se pueden trasladar para que pasen por un punto q deseado.

Transformaciones Geométricas

Una traslación de vector v en R² transforma cada punto p en p' = p + v. Una inversión de centro C y razón k transforma cada punto p en p' alineado con C y p tal que d(p',C) = k / d(p,C).

Aplicaciones Afines

Una transformación geométrica f de R² es afín si existe un punto k y una matriz L tal que transforma un punto p en p'. Las proyecciones transforman cada punto en otro siendo ortogonales entre sí con una recta.

Una afinidad es una aplicación afín biyectiva que conserva alineaciones de puntos y rectas. Una afinidad de matriz M es una semejanza si L^TL = r²I, donde r es la razón de semejanza. Las homotecias son transformaciones con un centro c y razón r: h_c,r(p) = c + r(p-c).

Movimientos

Un movimiento conserva distancias. Una afinidad de matriz M es un movimiento si L^TL = I. La simetría axial tiene puntos fijos en su eje. Los giros tienen un punto fijo que es el centro del giro. Las traslaciones no tienen puntos fijos. La simetría deslizante es la composición de una simetría axial con una traslación paralela al eje.

Un movimiento es directo si conserva la orientación del plano, e inverso si no la conserva.

Frisos

Un friso es una figura plana obtenida por la traslación repetida de un motivo inicial a lo largo de una banda. El eje del friso es invariante por simetrías del friso, y las simetrías del friso contienen traslaciones.

Cónicas

Las cónicas son las secciones de un cono por un plano. Si el plano pasa por el vértice, son degeneradas; si no, son propias.

Elipse

La elipse es el lugar geométrico de los puntos del plano tales que la suma de sus distancias a dos puntos fijos (focos) es constante. La tangente en un punto forma ángulos iguales con las rectas que pasan por el punto y uno de los focos.

Parábola

La parábola es el lugar geométrico de los puntos del plano que equidistan de un punto (foco) y una recta (directriz). La tangente en un punto forma ángulos iguales con la recta que une el punto y el foco, y con la recta paralela al eje que pasa por el punto.

Hipérbola

La hipérbola es el lugar geométrico de los puntos del plano tales que la diferencia de sus distancias a dos puntos fijos (focos) es constante. La tangente en un punto forma ángulos iguales con las rectas que pasan por el punto y alguno de los focos.

Funciones de Varias Variables

Una función de n variables es una función f: Rⁿ → R^m. Si m = 1, es una función real de n variables. Si m > 1, es una función vectorial de n variables, compuesta por m funciones escalares. El dominio es el conjunto de puntos de Rⁿ donde f está definida. La imagen es el rango de los valores de f(x).

Integración

La integración calcula la medida (el área) de una región de R² limitada por la gráfica de una función. El intervalo es el dominio de integración de f.