Exploración de la Mecánica: Desde Partículas a Sólidos Deformables

Fundamentos de la Mecánica

La mecánica es la rama de la física que describe los fenómenos de equilibrio y movimiento de los cuerpos materiales. Busca realizar una descripción tanto cualitativa como cuantitativa de estos fenómenos. Se puede abordar el problema desde dos planteamientos alternativos:

• Aproximación empírica: Basándose en la experimentación, se establecen relaciones matemáticas entre las variables de interés.
• Aproximación racional: Partiendo de premisas verificables experimentalmente y apoyándose en herramientas matemáticas, se deducen las relaciones entre las variables implicadas.

En la mecánica racional, basada en la aproximación racional, se analizan sistemas mecánicos de complejidad creciente, desde el punto material o partícula hasta el sólido rígido, pasando por la mecánica de los sistemas de partículas. De hecho, la mecánica del sólido rígido resulta de introducir una condición cinemática a las partículas de un sistema, obligándolas a mantener fijas las distancias entre sí. Esta a su vez se desarrolla después dando lugar a la mecánica de sistemas de los sólidos rígidos, que se aplica al análisis de una extensa clase de máquinas y mecanismos.

La mecánica racional presenta un modelo extremo de sólido al que denominan sólido rígido. El sólido rígido está formado por partículas unidas entre sí por vínculos infinitamente rígidos, de modo que la distancia entre dos partículas cualesquiera siempre se mantiene constante. En consecuencia, es necesario introducir un enfoque más potente para el análisis mecánico de los medios materiales reales. Dicho enfoque recibe el nombre de mecánica del medio continuo y se fundamenta en un paso al límite en el enfoque discreto de la mecánica de partículas, siendo sustituido por los métodos matemáticos de análisis de funciones continuas.

La mecánica del medio continuo parte de la mecánica de sistemas de partículas que interaccionan para dar lugar a un modelo material, sólido o fluido, mucho más genérico que el del sólido rígido. La mecánica del medio continuo evoluciona posteriormente en dos direcciones bien definidas: la mecánica de sólidos deformables y la mecánica de fluidos. En el primer caso, y por extensión de la mecánica racional, puede llegar a formularse la mecánica de sistemas de sólidos deformables.

Teorías de la Elasticidad

Teoría de la elasticidad lineal: Rama de la mecánica de los sólidos que estudia un comportamiento elástico, donde la deformación es reversible.

Teoría de la elasticidad no lineal: En el caso de comportamiento que no se ajuste al modelo del sólido elástico.

Es posible desarrollar una mecánica acoplada entre sistemas fluidos y sistemas sólidos a fin de presentar situaciones en las que ambos tipos de sistemas interaccionan (ej: plásticos, lubricantes, pinturas, etc.): teoría de la viscoelasticidad.

En el caso de sólidos en los que existe preponderancia de algunas dimensiones frente al resto, es posible establecer a priori unas hipótesis simplificadas referentes a la distribución tensional y deformacional: planteamiento de la resistencia de materiales.

Principios Fundamentales

• Homogeneidad: Su composición y propiedades físicas son las mismas en todos los puntos.
• Isotropía: Sus propiedades físicas en un punto dado son las mismas independientemente de la dirección en que se evalúen.
• Continuidad: No existen huecos entre partículas ni, por consiguiente, distancias intersticiales.
• Principio de los pequeños desplazamientos: Los desplazamientos originados por las fuerzas aplicadas son pequeños en relación con las dimensiones de los cuerpos, y por tanto, cuando se plantean las condiciones de equilibrio se considera que los cuerpos conservan su forma inicial. Este principio no será aplicable cuando las condiciones de equilibrio en la posición deformada y sin deformar sean sustancialmente distintas.
• Principio de superposición: Los efectos que un sistema de fuerzas aplicadas en un cuerpo es igual a la suma de los efectos que originen esas mismas fuerzas aplicadas en un cuerpo es igual a la suma de los efectos que originan esas mismas fuerzas actuando por separado y, en consecuencia, las solicitantes, los desplazamientos, los esfuerzos y las deformaciones originadas por un sistema de fuerzas aplicadas son independientes de su origen de aplicación. Este principio es de aplicación generalizada a los sistemas elásticos, no será válido en los casos en los que no sea aplicable el principio de los pequeños desplazamientos.
• Principio de energía cinética nula: El paso del estado inicial indeformado al final deformado se realiza de manera reversible, es decir, que en cualquier estado intermedio de deformación el sistema de fuerzas exteriores es equilibrado por otro sistema antagonista, lo que origina que la velocidad sea infinitamente pequeña y nula, por consiguiente, la variación de energía cinética.
• Principio de Saint-Venant: A partir de una distancia suficiente de los puntos de la superficie del sólido elástico en los que están aplicadas las fuerzas puntuales, el reparto de tensiones es el mismo que el que se tendría si las fuerzas exteriores se aplicaran de forma uniforme. No tendrá sentido aplicar este principio cuando se trate de calcular las tensiones de la zona próxima a la aplicación de las fuerzas.

El Prisma Mecánico

El prisma mecánico es el sólido engendrado por una sección plana S de área A cuyo centro de gravedad G describe una curva C llamada línea media, siendo el plano que contiene a S normal a la curva. El prisma mecánico es alabeado, plano o recto cuando su línea media sea alabeada, plana o recta. El prisma mecánico es de sección constante cuando lo es el área A.

Fuerzas y Tensiones

Fuerzas superficiales: Actúan sobre la superficie del prisma mecánico y son ejercidas por otro prisma mecánico que esté en contacto físico con el primero.

Fuerzas volumétricas: Son proporcionales a la masa del prisma mecánico y son producidas por agentes externos al mismo (ej: fuerza gravitatoria, magnética o inerciales).

La proyección del vector tensión σ sobre el plano π se denomina tensión tangencial τ, mientras que la componente normal del vector tensión σ respecto del plano π se denomina tensión normal σ_n. Estas dos componentes se denominan componentes intrínsecas del vector tensión.

Teorema de reciprocidad de las tensiones tangenciales: Las componentes de las tensiones cortantes en un punto correspondientes a dos planos perpendiculares en la dirección normal a la arista de su diedro, son iguales.

Elipsoide de tensiones o elipsoide de Lamé:

• Sus ejes son coincidentes con las direcciones principales.
• Si dos de las tensiones principales son iguales, el elipsoide es de revolución.
• Si las tres son iguales, el elipsoide se reduce a una esfera, por lo que cualquier dirección es dirección principal.
• Si una tensión principal es nula, el elipsoide degenera en una superficie plana situada en el plano correspondiente a la tensión principal nula y limitada por la elipse que tiene de longitud de semiejes los valores de las dos tensiones principales no nulas.

Comportamiento Mecánico

El comportamiento mecánico está definido por el módulo de elasticidad longitudinal E, que corresponde a la pendiente de la recta m_E cuando se realiza el ensayo de tracción en condiciones óptimas.