Exploración de Estructuras Algebraicas: Pares Ordenados, Productos Cartesianos, LCI, Monoides, Semigrupos, Grupos, Anillos y Cuerpos

Estructuras Algebraicas Fundamentales

Par Ordenado

Un par ordenado es un conjunto de dos elementos en el que se ha definido una relación de orden. Esto significa que está unívocamente establecido cuál es el primer elemento del par y cuál es el segundo.

Producto Cartesiano

El producto cartesiano de dos conjuntos A y B (en ese orden) es el conjunto de todos los pares ordenados (a, b) que se pueden formar con todos los elementos de A y B, de modo que 'a' pertenezca al primer conjunto y 'b' al segundo conjunto. Ejemplo: A x B = {(a, b) | a ∈ A ∧ b ∈ B}

Ley de Composición Interna (LCI)

Una Ley de Composición Interna (LCI) definida en un conjunto no vacío A es una operación o función que asigna a cada par ordenado de elementos de A un único elemento de A. Esto significa que a cada objeto del producto cartesiano A x A le corresponde un único elemento de A. Ejemplo: la adición es una LCI en Z (el conjunto de los números enteros), ya que la suma de dos números enteros es siempre otro número entero.

Estructura Algebraica

Una estructura algebraica queda definida por un conjunto no vacío dotado de una LCI que verifica determinadas propiedades. Es un objeto matemático que consiste en un conjunto no vacío y una relación o LCI definida en él.

Monoide

Un monoide es una estructura algebraica (M, *) que cumple ciertas propiedades. Ejemplo: los conjuntos ℕ, ℤ, ℚ, ℝ tienen estructura de monoide con respecto a la adición ordinaria.

Semigrupo

Un semigrupo es un conjunto S ≠ ∅ con una operación * definida en S que es una LCI y asociativa en S. Ejemplo: el conjunto ℤ presenta una estructura de semigrupo conmutativo con unidad con respecto a la adición.

Grupo

Un grupo es una estructura algebraica G ≠ ∅ con una operación * que es una LCI, asociativa, tiene elemento neutro y elemento simétrico. Ejemplo: a * b = a + b + 3 en el conjunto de números enteros.

Propiedades del Grupo

1. Leyes cancelativas o de simplificación a izquierda o derecha. Esto equivale a decir que los elementos son regulares a derecha o izquierda.
2. En todo grupo, el elemento neutro es único.
3. Cada elemento admite un simétrico.

Subgrupo

Un subgrupo es un subconjunto no vacío H de un grupo G que también es un grupo para la misma LCI. Ejemplo: el conjunto de números enteros con respecto a la adición es un subgrupo del conjunto de los números racionales con respecto a la adición.

Anillo

Un conjunto A presenta estructura de anillo cuando existen dos leyes de composición interna en A, denominadas * y ° tales que:

1. El conjunto A es un grupo abeliano con respecto a *.
2. El conjunto A es un semigrupo con respecto a °.
3. La operación ° es distributiva con respecto a * .

Ejemplo: ℤ, ℚ, ℝ con respecto a la adición y multiplicación tienen estructura de anillo conmutativo.

Cuerpo

Un conjunto K tiene estructura de cuerpo cuando existen dos LCI en K tales que:

1. El conjunto K es un grupo abeliano respecto de *. El conjunto K es un grupo para los elementos no nulos con respecto a la operación °.
2. La operación ° es distributiva con respecto a *.

Ejemplo: ℚ y ℝ en la suma y multiplicación son cuerpos conmutativos.