Exploración Detallada del Teorema de Taylor, Cálculo Fundamental y Diferenciabilidad

Teorema de la Serie de Taylor

Sea f una función indefinidamente diferenciable en un intervalo D ⊆ R y sea a punto interior de D. La serie de Taylor de f en a es convergente y suma f(x) para los valores de x ∈ D tales que lim Rn(x) = 0.

Demostración:

Sea x ∈ D. Una serie es convergente si lo es la sucesión de sus sumas parciales, que para la serie de Taylor es:

Sn(x) = f(a) + f'(a)/1!·(x − a) + · · · + f⁽ⁿ⁻¹⁾(a)/(n−1)! (x − a)ⁿ⁻¹ = Pn−1(x).

Por el Teorema 59 de Taylor, existe un α entre a y x tal que f(x) = Pn−1(x) + Rn(x) = Sn(x) + Rn(x). Despejando, Sn(x) = f(x) − Rn(x), luego lim Sn(x) = f(x) si, y sólo si, lim Rn(x) = 0.

En el caso particular a=0, la serie de Taylor se llama serie de McLaurin de f y es una Serie de Potencias. Por el Teorema 61 tenemos que,

f(x) = f(0) + f'(0) x/1! + f''(0)x²/2! + f⁽³⁾(0) x³/3! + · · · , ∀ x ∈ D : lim Rn(x) = 0, donde Rn(x) = f ⁽ⁿ⁾ (α) / n! xⁿ , con α ∈ (0, x).

Notar que lim Rn(x) = 0 como sucesión, es decir, x es fijo y n es variable.

Teorema Fundamental del Cálculo

Sea f integrable en [a, b] y sea F una función continua en [a, b] y primitiva de f en (a, b). Entonces:

∫_a^b f(x) dx = F(b) - F(a)

Demostración:

Sea P = {t₀, t₁, t₂, . . . , t_n}∈P una partición cualquiera de [a, b]. Entonces,

F(t_n)−F(t₀)=F(t₁)−F(t₀)+ F(t₂)−F(t₁)+F(t₃)−F(t₂) + − · · · + F(t_n)−F(t_n−1),

que podemos escribir como

F(b) − F(a) = Σ_j=1ⁿ (F(t_j ) − F(t_j−1)).

Como F es continua en cada subintervalo [t_j−1, t_j ] y diferenciable en cada (t_j−1, t_j ), por el TVM (Teorema del Valor Medio de Lagrange) existe un punto z_j ∈ (t_j−1, t_j ) tal que

(F(t_j ) − F(t_j−1)) / (t_j − t_j−1) = F'(z_j ) = f(z_j ),

⇒ F(t_j )−F(t_j−1) = f(z_j )(t_j −t_j−1).

Sustituyendo,

F(b) − F(a) = Σ_j=1ⁿ f(z_j ) (t_j − t_j−1).

Como cada m_j ≤ f(z_j ) ≤ M_j , tenemos que

Σ_j=1ⁿ m_j (t_j − t_j−1) ≤ F(b) − F(a) ≤ Σ_j=1ⁿ M_j (t_j − t_j−1),

es decir, L(f, P) ≤ F(b) − F(a) ≤ U(f, P), para toda partición P ∈ P.

Pero si f es integrable, el único valor que está entre todas las sumas superiores y todas las inferiores es la integral, luego

F(b) − F(a) = ∫_a^b f(x) dx.

Diferenciabilidad y Derivadas Parciales

Si f : D ⊆ R² → R es diferenciable en (x₀, y₀) punto interior de D entonces existen las derivadas parciales de f en (x₀, y₀).

Demostración:

Si f es diferenciable, existe el límite de la Definición 53. Si en ese límite hacemos y = y₀ obtenemos

lim_{(x,y0)→(x0,y0)} (f(x, y₀) − f(x₀, y₀) − K(x − x₀) − M(y₀ − y₀)) / √((x − x₀)² + (y₀ − y₀)²) = 0

⇒ lim_x→x0 (f(x, y₀) − f(x₀, y₀) − K(x − x₀)) / |x − x₀| = 0

⇒ lim_x→x0 (f(x, y₀) − f(x₀, y₀) − K(x − x₀)) / (x − x₀) = 0

⇒ lim_x→x0 (f(x, y₀) − f(x₀, y₀)) / (x − x₀) = K

⇒ [Definición 49] ⇒ existe D₁f(x₀, y₀) = K.

Del mismo modo (haciendo x = x₀ en el límite de la Definición 53) se obtiene que existe D₂f(x₀, y₀) = M.

Si sustituimos K y M por D₁f(x₀, y₀) y D₂f(x₀, y₀) en la Definición 53, el plano del límite es el plano tangente a f en (x₀, y₀) (ver Definición 52). Así, una función f(x, y) es diferenciable en un punto (x₀, y₀) interior de su dominio si su gráfica tiene plano tangente no vertical (pues K y M son constantes finitas) en (x₀, y₀, f(x₀, y₀)). Por ejemplo, las funciones de la Figura 34 en la página 65 son diferenciables en todos los puntos. Si tiene plano tangente, también tiene todas las rectas tangentes, luego existen todas las derivadas direccionales en ese punto (entre ellas las derivadas parciales, como hemos demostrado).