Espacios Vectoriales: Conceptos Clave, Propiedades y Aplicaciones

Espacio Vectorial: Definición y Propiedades

Un espacio vectorial es un conjunto con una operación interna que cumple las propiedades conmutativa, asociativa, existencia de elemento neutro y existencia de vector simétrico, y con una operación externa que verifica las propiedades de asociatividad, distributividad 1 y 2, y existencia de elemento unidad.

Conceptos Fundamentales

• La dimensión del espacio Rⁿ es n.
• Los elementos de Rⁿ reciben el nombre de vectores.

Operaciones y Compatibilidad

• Inversa de una matriz: A^-1 = 1/|A| · A*
• Combinación lineal: La matriz (A|b) (matriz ampliada) debe tener el mismo rango que A. Ejemplo: Si Rang(A)=2, Rang(A|b)=2, entonces el determinante de orden 3 debe ser nulo.

Sistemas de Ecuaciones

• Sistema Incompatible: No tiene solución.
• Sistema Compatible: Tiene solución.
  • Determinados: 1 solución.
  • Indeterminados: + de 1 solución.

Teorema de Rouché-Frobenius

Rang(A) ≠ Rang(A|b): Sistema Incompatible.

Rang(A) = Rang(A|b) = nº incógnitas: Sistema Compatible Determinado.

Rang(A) = Rang(A|b) < nº incógnitas: Sistema Compatible Indeterminado.

Dependencia e Independencia Lineal

Todo sistema homogéneo es compatible. Si se trata de un Sistema Determinado, la única solución será x₁=0, x₂=0, x₃=0, con lo que los vectores serán Linealmente Independientes (L.I.). Si, en cambio, el Sistema es Indeterminado, existirán soluciones no nulas, y el conjunto de vectores será Linealmente Dependiente (L.D.).

Para calcular si una matriz es LD o LI, se busca el determinante, luego el rango, y después se mira si coincide o no con el nº de incógnitas (Teorema de Rouché) y finalmente se determina si es LD o LI.

Para saber si un conjunto de vectores es LD o LI hay que aplicar: Rang(A)=k es LI, si Rang(A) ≠ k es LD. (Ejemplo: Rang(A)=2 < 3 [nº incógnitas] -> LD)

Si el Determinante de una matriz es nulo (0) es L.D.

Base de un Espacio Vectorial

El conjunto ordenado de vectores es una base de Rⁿ si el conjunto de vectores es un sistema de generadores de Rⁿ, y si es LI. Ej: En una matriz de 4 vectores no forman una base de R³, ya que no se trata de vectores LI. Su rango como máximo puede ser 3, ya que solo tiene 3 filas. De esta forma el rango nunca coincidirá con el número de vectores (4), con lo que son LD, y por tanto no base de R³.

Componentes de un Vector en Base Vectorial

Los números reales de los vectores. Los componentes de un vector en una base son únicos. Si es un conjunto con 3 (a,b,c) base de R³, el sistema deberá tener solución única (SCD). Se puede resolver por sistema de Cramer.

Subespacio Vectorial

Diremos que S es un subespacio vectorial de Rⁿ, si cumple:

1. S ⊆ Rⁿ
2. S ≠ {0}
3. Dados u,v ∈ S, se cumple u+v ∈ S.
4. Dado u ∈ S y dado un número real λ ∈ R, se cumple λ·u ∈ S.

Dimensión = nº vectores de una base

Producto Escalar

Dados u y v vectores de Rⁿ, su producto escalar lo representamos indistintamente por u·v o bien . Propiedades: Dados u,v y w vectores de Wⁿ y dado λ ∈ R se cumplen las prop.:

• Conmutativa: u·v = v·u
• Asociativa: u·(v+w) = u·v + u·w
• Asociatividad: λ(u·v) = (λu)·v

Norma de un Vector

Dado el vector u=(x₁,...) de Rⁿ, su norma se representa por ||u|| y se define como ||u|| = +√(u·u), lo que expresado en componentes es ||u|| = +√(x₁² + ...)

Vector unitario cuando su norma es 1

Propiedades de la Norma

• ||u|| ≥ 0 y (||u|| = 0 ↔ u=0)
• ||λu|| = |λ| · ||u||
• Desigualdad triangular: ||u+v|| ≤ ||u|| + ||v||
• u·v = ||u|| · ||v|| · cos(θ), siendo θ el ángulo entre u y v.
• Desigualdad de Schwarz: |u·v| ≤ ||u|| · ||v||
• Si u≠0, el vector (1/||u||) · u es unitario y tiene la misma dirección y sentido que el vector u.

Distancia entre Vectores

Dados u y v de Rⁿ, representamos la distancia entre u y v, por d(u,v) y se define como d(u,v) = ||u-v||. Detallando los componentes u(x₁,...) y v(y₁,...), la distancia se expresa como d(u,v) = ||(x₁-y₁,...)|| = +√((x₁-y₁)² + ... + (x_n - y_n)²)

Base Ortogonal y Ortonormal

• Ortogonal: Una base de un espacio es ortogonal cuando sus vectores son perpendiculares dos a dos.
• Ortonormal: Cuando la base es ortogonal y todos sus vectores son unitarios.

Forma Cuadrática

Si A es una matriz simétrica de orden n, la forma cuadrática de Rⁿ asociada a esta matriz es la función definida por f(x)=x'·A·x siendo x ∈ Rⁿ, lo que corresponde a una función polinómica de segundo grado en todos sus términos.

 x² xy xz
 yx y² yz
 zx zy z²