Espacios vectoriales
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Tema12. ESPACIOS VECTORIALES.
1. Espacios Vectoriales.
2. Subespacios Vectoriales.
2.1. Intersección de Subespacios.
2.2. Unión de Subespacios.
2.3. Suma de Subespacios.
2.4. Suma Directa de Subespacios.
3. Aplicaciones Lineales. Espacio Cociente.
4. Teoremas de Isomorfía.
5. Bases de un Espacio Vectorial.
5.1. Combinaciones Lineales.
5.2. Dependencia e Independencia Lineal.
5.3. Bases y Dimensión.
5.4. Bases y Aplicaciones lineales.
5.5. Dimensión de Subespacios y Espacios Cociente.
6. Subespacios Vectoriales Complementarios.
A lo largo de este tema 12 denotaremos mediante la letra K un cuerpo conmutativo,
(K, +, ·).
1. ESPACIOS VECTORIALES.
DEF Llamamos K-espacio vectorial a la terna formada por un conjunto V, una ley de
composición interna +, y una ley de composición externa · : Kx V -> V , verificando las
propiedades:
1) (V, +) es un grupo conmutativo.
2) La ley de composición externa satisface las propiedades :
a) Pseudoasociativa (asociativa respecto a los escalares)
b) Distributiva s respecto a la suma de vectores y a la suma de escalares
c) Elemento Unidad
Lo denotaremos por (V, +, · K ).
Los elementos de V reciben el nombre de vectores y l os elementos de K reciben el nombre de escalares . La operación externa se llama producto por escalares.
PROP Si V es un K-espacio vectorial se satisfacen las siguientes propiedades :
1) El producto del escalar nulo por cualquier vector y el producto cualquier escalar por el vector nulo son iguales al vector nulo.
2) Dados un escalar y un vector cualesquiera, el opuesto del escalar por el vector y el escalar por el opuesto del vector son iguales al opuesto del producto del escalar por el vector.
3) Propiedades distributivas respecto a la diferencia de vectores y a la diferencia de escalares.
4) Si el producto de un escalar por un vector es nulo, entonces el escalar es nulo o el vector es nulo.
PROP Sea V un K-espacio vectorial. Entonces verifica las leyes de simplificación:
1) Respecto a la suma de vectores.
2) Simplificación de vectores, no nulos, respecto al producto de escalares.
3) Simplificación de escalares, no nulos, respecto al producto de escalares.
2. SUBESPACIOS VECTORIALES.
DEF Sea V un K-espacio vectorial y W subconjunto no vacío de V . Diremos que W es un Subespacio Vectorial de V si satisface:
1) (W, +) es subgrupo de (V, +)
2) Si la l.c.e. de V lo es de W.
Es claro que (W, +, ·) es un K-espacio vectorial con la suma de V y el producto
porescalares restringidos a W.
Todo K-espacio vectorial V admite dos subespacios que llamaremos triviales, el { } O
r
y el propio V.
1. Espacios Vectoriales.
2. Subespacios Vectoriales.
2.1. Intersección de Subespacios.
2.2. Unión de Subespacios.
2.3. Suma de Subespacios.
2.4. Suma Directa de Subespacios.
3. Aplicaciones Lineales. Espacio Cociente.
4. Teoremas de Isomorfía.
5. Bases de un Espacio Vectorial.
5.1. Combinaciones Lineales.
5.2. Dependencia e Independencia Lineal.
5.3. Bases y Dimensión.
5.4. Bases y Aplicaciones lineales.
5.5. Dimensión de Subespacios y Espacios Cociente.
6. Subespacios Vectoriales Complementarios.
A lo largo de este tema 12 denotaremos mediante la letra K un cuerpo conmutativo,
(K, +, ·).
1. ESPACIOS VECTORIALES.
DEF Llamamos K-espacio vectorial a la terna formada por un conjunto V, una ley de
composición interna +, y una ley de composición externa · : Kx V -> V , verificando las
propiedades:
1) (V, +) es un grupo conmutativo.
2) La ley de composición externa satisface las propiedades :
a) Pseudoasociativa (asociativa respecto a los escalares)
b) Distributiva s respecto a la suma de vectores y a la suma de escalares
c) Elemento Unidad
Lo denotaremos por (V, +, · K ).
Los elementos de V reciben el nombre de vectores y l os elementos de K reciben el nombre de escalares . La operación externa se llama producto por escalares.
PROP Si V es un K-espacio vectorial se satisfacen las siguientes propiedades :
1) El producto del escalar nulo por cualquier vector y el producto cualquier escalar por el vector nulo son iguales al vector nulo.
2) Dados un escalar y un vector cualesquiera, el opuesto del escalar por el vector y el escalar por el opuesto del vector son iguales al opuesto del producto del escalar por el vector.
3) Propiedades distributivas respecto a la diferencia de vectores y a la diferencia de escalares.
4) Si el producto de un escalar por un vector es nulo, entonces el escalar es nulo o el vector es nulo.
PROP Sea V un K-espacio vectorial. Entonces verifica las leyes de simplificación:
1) Respecto a la suma de vectores.
2) Simplificación de vectores, no nulos, respecto al producto de escalares.
3) Simplificación de escalares, no nulos, respecto al producto de escalares.
2. SUBESPACIOS VECTORIALES.
DEF Sea V un K-espacio vectorial y W subconjunto no vacío de V . Diremos que W es un Subespacio Vectorial de V si satisface:
1) (W, +) es subgrupo de (V, +)
2) Si la l.c.e. de V lo es de W.
Es claro que (W, +, ·) es un K-espacio vectorial con la suma de V y el producto
porescalares restringidos a W.
Todo K-espacio vectorial V admite dos subespacios que llamaremos triviales, el { } O
r
y el propio V.