Ejercicios Resueltos de Probabilidad: Conceptos y Aplicaciones

Ejercicio 1: Estudiantes Universitarios

En una universidad en la que solo hay estudiantes de ingeniería, ciencias y letras, finalizan la carrera el 5% de los ingenieros, el 10% de los científicos y el 20% de los estudiantes de letras. Se sabe que el 20% estudian ingeniería, el 30% ciencias y el 50% letras. Calcular el porcentaje de estudiantes de ingeniería que han finalizado la carrera.

• 0,2 (Ingeniería) - 0,05 (Aprueban)
• 0,3 (Ciencias) - 0,1 (Aprueban)
• 0,5 (Letras) - 0,2 (Aprueban)

P(aprobar ingeniería) = 0,2 x 0,05 = 0,01

Ejercicio 2: Incidencia de Enfermedad

Un 10% de las personas que viven en cierta ciudad han padecido determinada enfermedad. Si se examinan 3 personas, ¿cuál es la probabilidad de que alguna de ellas haya tenido la enfermedad?

• 0,1 (Enfermos)
• 0,9 (No enfermos)

P(alguna tenga la enfermedad) = 1 - 0,9³ = 0,271

Ejercicio 3: Lanzamiento de Dados

Se lanzan 2 dados. Calcular:

a) La probabilidad de obtener dos números pares.

b) La probabilidad de obtener un número par y un número impar.

• 3/6 (Par)
• 3/6 (Impar)

P(2 pares) = (3/6) x (3/6) = 0,25

P(1 par y 1 impar) = (3/6) x (3/6) + (3/6) x (3/6) = 0,5

Ejercicio 4: Producción de Arandelas

Una fábrica dispone de 3 máquinas (A, B y C) que fabrican arandelas. Se sabe que producen arandelas defectuosas. Calcular la probabilidad de coger una arandela y que sea defectuosa.

• 0,25 (A) - 0,01 (Defectuosas)
• 0,4 (B) - 0,03 (Defectuosas)
• 0,35 (C) - 0,02 (Defectuosas)

P(arandela defectuosa) = (0,25 x 0,01) + (0,4 x 0,03) + (0,35 x 0,02) = 0,0215

Ejercicio 5: Extracción de Bolas

En una caja hay 2 bolas blancas y 3 negras. En otra caja hay 3 bolas blancas y 2 negras. Se extrae una bola de la primera caja y se introduce en la segunda. Después, se extrae una bola de la segunda caja. Calcular la probabilidad de que la bola extraída de la segunda caja sea blanca.

• Caja 1:
  • 2/5 (Blancas)
  • 3/5 (Negras)
• Caja 2:
  • 3/6 (Blancas)
  • 3/6 (Negras)

P(bola blanca de la segunda caja) = (2/5) x (4/6) + (3/5) x (3/6) = 0,5666

Ejercicio 6: Lámparas Fundidas

Hay 3 cajas con lámparas. La primera contiene 10 lámparas, de las cuales 4 están fundidas. La segunda contiene 6 lámparas, con 1 fundida. La tercera contiene 8 lámparas, con 3 fundidas. Se escoge una caja al azar y se extrae una lámpara. Calcular la probabilidad de que la lámpara esté fundida.

• 1/3 (Caja A) - 4/10 (Fundidas)
• 1/3 (Caja B) - 1/6 (Fundidas)
• 1/3 (Caja C) - 3/8 (Fundidas)

P(lámpara fundida) = (1/3) x (4/10) + (1/3) x (1/6) + (1/3) x (3/8) = 0,31388

Ejercicio 7: Examen de Oposición

Un alumno ha estudiado 15 de los 25 temas de una oposición. En el examen se eligen 2 temas al azar y el alumno escoge 1. Calcular la probabilidad de que el tema escogido sea uno de los estudiados.

• 15/25 (Estudiados)
• 10/25 (No estudiados)

P(sepa el tema) = 1 - (10/25) x (9/24) = 0,85

Ejercicio 8: Llaveros y Llaves

Hay 3 llaveros (A, B y C) con 5, 7 y 8 llaves respectivamente. Solo una llave de cada llavero abre una puerta. Calcular:

a) La probabilidad de acertar con la llave correcta al elegir una llave al azar.

b) La probabilidad de haber escogido el tercer llavero (C) y no abrir la puerta.

• 1/3 (A) - 1/5 (Abre)
• 1/3 (B) - 1/7 (Abre)
• 1/3 (C) - 1/8 (Abre)

P(acertar llave) = (1/3) x (1/5) + (1/3) x (1/7) + (1/3) x (1/8) = 0,1559

P(escoger C y no abrir) = (1/3) x (7/8) = 0,29166

Ejercicio 9: Huéspedes de Hotel

En un hotel, el 40% de los huéspedes en 2004 fueron hombres y el resto mujeres. Del total de mujeres, el 65% eran extranjeras y el resto nativas. Calcular la probabilidad de que un huésped sea mujer y nativa.

• 0,4 (Hombres)
• 0,6 (Mujeres) - 0,65 (Extranjeras) - 0,35 (Nativas)

P(mujer y nativa) = 0,6 x 0,35 = 0,21

Ejercicio 10: Tiro con Arco

En una competición de tiro con arco, un arquero tiene 3 intentos. Si acierta, sigue tirando. La probabilidad de acertar es de 0,8. Calcular la probabilidad de no quedar eliminado.

• 0,8 (Acertar)
• 0,2 (Fallar)

P(no quedar eliminado) = 1 - 0,2³ = 0,992

Ejercicio 11: Piezas Defectuosas

Una máquina produce 100 piezas, de las cuales 15 tienen algún defecto. Calcular:

a) La probabilidad de que una pieza no sea defectuosa.

b) La probabilidad de que 2 piezas elegidas al azar sean ambas defectuosas.

• 15/100 (Defectuosas)
• 85/100 (No defectuosas)

P(no defectuosa) = 85/100 = 0,85

P(2 defectuosas) = (15/100) x (14/99) = 0,02121

Ejercicio 12: Caza de Perdices

Un cazador dispara con una escopeta de 5 tiros. La probabilidad de acertar a una perdiz es de 0,2. Calcular la probabilidad de acertar en el tercer disparo y la probabilidad de acertar en 3 disparos.

• 0,2 (Acertar)
• 0,8 (Fallar)

P(acertar en el 3º disparo) = 0,8 x 0,8 x 0,2 = 0,128

P(acertar en 3 disparos) = 1 - 0,8³ = 0,488

Fundamentos Teóricos de la Probabilidad

Experimento aleatorio: Son aquellos experimentos en los que no se puede predecir el resultado, aunque se realicen siempre en idénticas condiciones.

Espacio muestral: Conjunto formado por todos los posibles resultados que se pueden obtener al realizar un experimento aleatorio.

Suceso: Cada uno de los subconjuntos del espacio muestral de un experimento aleatorio.

• Suceso elemental: Por ejemplo, obtener el número 5 al lanzar un dado.
• Suceso compuesto: Por ejemplo, obtener un número impar al lanzar un dado (1, 3, 5).
• Suceso imposible: Por ejemplo, obtener el número 7 al lanzar un dado de seis caras.
• Suceso seguro: Por ejemplo, obtener un número menor que 7 al lanzar un dado de seis caras.
• Suceso contrario: Por ejemplo, obtener el número 5 y no obtener el número 5.
• Suceso incompatible: Por ejemplo, obtener un número par y obtener los números 1 o 3.
• Suceso compatible: Por ejemplo, obtener un número par y obtener un número menor que 3.

Dos sucesos son dependientes si el resultado de uno condiciona el resultado del otro suceso consecutivo. Son independientes si el resultado de uno no condiciona el resultado del otro.

Propiedades de la Probabilidad:

• 1º: La probabilidad de un suceso A es un número comprendido entre 0 y 1, ambos incluidos. La probabilidad de un suceso imposible es 0. La probabilidad de un suceso seguro es 1.
• 2º: La suma de las probabilidades de todos los sucesos elementales de un experimento es 1.
• 3º: La probabilidad de la unión de sucesos incompatibles es igual a la suma de las probabilidades de los sucesos. La suma de la probabilidad de un suceso y su opuesto es 1. La probabilidad de la unión de dos sucesos compatibles A y C es igual a la suma de las probabilidades de los sucesos menos la probabilidad del suceso intersección.

Regla de Laplace: La probabilidad de un suceso A se define como el cociente: P(A) = (número de casos favorables al suceso A) / (número de casos posibles).