Ejercicios Resueltos: Potencias, Ecuaciones, Sistemas y Conceptos Matemáticos Fundamentales

Potencias de Base 2 o 3

Expressar com a una sola potència de base 2 o 3:

• (8^2 : 4^3)

  Solució: (8^2 : 4^3) = ((2^3)^2 : (2^2)^3) = (2^6 : 2^6) = 2^(6-6) = 2^0 = 1

• [(2^3)^2 : (2^2)^3]^2

  Solució: [(2^3)^2 : (2^2)^3]^2 = [2^6 : 2^6]^2 = [2^0]^2 = 1^2 = 1

• (2^6 : 2^6)^2

  Solució: (2^6 : 2^6)^2 = (2^0)^2 = 1^2 = 1

• 2^12 : 2^12

  Solució: 2^12 : 2^12 = 2^(12-12) = 2^0 = 1

• Propietat: 2^0 = 1

Ecuaciones de Segundo Grado Incompletas

Ejemplo 1:

x^2 - 16 = 25

1. Sumamos 16 a ambos lados: x^2 = 25 + 16
2. x^2 = 41
3. Extraemos la raíz cuadrada: x = ±√41
4. Soluciones aproximadas: x₁ ≈ +6.4, x₂ ≈ -6.4

Ejemplo 2:

x^2 + 23x = 0

1. Factorizamos sacando factor común x: x(x + 23) = 0
2. Para que el producto sea cero, uno de los factores debe ser cero:

• x = 0 (Primera solución)
• x + 23 = 0

Resolvemos la segunda ecuación: x = -23 (Segunda solución) Soluciones: x₁ = 0, x₂ = -23

Resolución de Sistemas de Ecuaciones Lineales (2x2)

Primero, necesitamos un sistema de 2 ecuaciones. Para esto usaremos el siguiente:

Ecuación 1: x + 3y = 10

Ecuación 2: 4x + 2y = 20

Método de Sustitución:

1. Se despeja "x" en la primera ecuación:
   x = 10 - 3y
2. Se sustituye el término "x" de la segunda ecuación con el que acabamos de despejar:
   4(10 - 3y) + 2y = 20
3. Se resuelve la ecuación resultante para "y":
   40 - 12y + 2y = 20
40 - 10y = 20
4. Se despeja "y" en la nueva ecuación:
   -10y = 20 - 40
-10y = -20
y = -20 / -10
y = 2
5. Se sustituye el valor de "y" en el despeje de "x":
   x = 10 - 3y
x = 10 - 3(2)
x = 10 - 6
x = 4

Método de Reducción:

1. Se identifica el término "x" en ambas ecuaciones y se obtiene el valor de su coeficiente (el número que acompaña a "x"):
   x -> 1
4x -> 4
2. Se multiplican de manera cruzada los coeficientes (o se busca el m.c.m. para igualarlos). Multiplicamos la primera ecuación por 4:
   4 * (x + 3y = 10) -> 4x + 12y = 40
1 * (4x + 2y = 20) -> 4x + 2y = 20
3. Se le cambia el signo a una ecuación (por ejemplo, la segunda) para poder eliminar "x":
   4x + 12y = 40
-1 * (4x + 2y = 20) -> -4x - 2y = -20
4. Ambas ecuaciones se suman de manera lineal. Esto quiere decir que el término "x" de la primera se suma con el de la segunda, igual con "y" y con el término independiente:
   (4 - 4)x + (12 - 2)y = (40 - 20)
0x + 10y = 20
10y = 20
5. Se despeja "y":
   y = 20 / 10
y = 2
6. Se sustituye el valor de "y" en alguna de las ecuaciones originales y se despeja "x":
   x + 3y = 10
x + 3(2) = 10
x + 6 = 10
x = 10 - 6
x = 4

Método de Igualación:

1. Se despeja "x" en la primera ecuación:
   x + 3y = 10 -> x = 10 - 3y
2. Se despeja "x" en la segunda ecuación:
   4x + 2y = 20 -> 4x = 20 - 2y -> x = (20 - 2y) / 4
3. Ya que ambas expresiones son iguales a "x", se pueden igualar ellas mismas:
   10 - 3y = (20 - 2y) / 4
4. Se despeja "y" en la nueva ecuación:
   4 * (10 - 3y) = 20 - 2y
40 - 12y = 20 - 2y
-12y + 2y = 20 - 40
-10y = -20
y = -20 / -10
y = 2
5. Se sustituye el valor de "y" en alguno de los despejes de "x":
   x = 10 - 3y
x = 10 - 3(2)
x = 10 - 6
x = 4

Comprobación:

Sustituimos los valores x=4 e y=2 en las ecuaciones originales:

• x + 3y = 10 -> 4 + 3(2) = 10 -> 4 + 6 = 10 -> 10 = 10 (Correcto)
• 4x + 2y = 20 -> 4(4) + 2(2) = 20 -> 16 + 4 = 20 -> 20 = 20 (Correcto)

Problema del Viatge

Context possible: Un viatge costa 120€. El Pere paga 1/4 del cost total. La Marta paga la resta. Quant paga cadascú?

• Cost total: 120€
• Part del Pere: 120 / 4 = 30€
• Part de la Marta: 120 - 30 = 90€

Resposta: El Pere pagarà 30€ i la Marta 90€.

Identidades Notables (o Productos Notables)

• Cuadrado de una suma/resta: (a ± b)² = a² ± 2ab + b²
• Suma por diferencia: (a + b)(a - b) = a² - b²

Ejemplo:

(x + 5)² = x² + 2 · x · 5 + 5² = x² + 10x + 25

Errores en la Medición

Error Absoluto (EA)

Es la diferencia (en valor absoluto) entre el valor medido experimentalmente y el valor considerado como exacto (valor teórico). Indica la magnitud de la desviación.

EA = |Valor Medido - Valor Teórico|

• Siempre es positivo o cero.
• Tiene las mismas unidades que la medida.
• Nota: El texto original mencionaba que podía ser positivo o negativo para indicar si la medida era superior o inferior al valor real. Si se omite el valor absoluto, EA = Valor Medido - Valor Teórico, sí puede tener signo.

Error Relativo (ER)

Es el cociente entre el error absoluto y el valor exacto (teórico). Proporciona una medida de la precisión de la medida en relación con la magnitud de lo que se mide.

ER = EA / Valor Teórico

• No tiene unidades (es adimensional).
• Si se multiplica por 100, se obtiene el error relativo porcentual (%).
• Al igual que el error absoluto (sin valor absoluto), puede ser positivo o negativo, indicando si la medida es por exceso o por defecto.

Intervalos en la Recta Real

Los intervalos representan conjuntos de números reales.

• Intervalo cerrado: [a, b]. Incluye los extremos a y b. En la recta real, se representan con puntos sólidos (●) en a y b.
• Intervalo abierto: (a, b). Excluye los extremos a y b. En la recta real, se representan con puntos huecos (○) o paréntesis en a y b.
• Intervalos semiabiertos/semicerrados: [a, b) o (a, b]. Incluyen un extremo y excluyen el otro. Se combinan los símbolos anteriores.

Regla mnemotécnica: Si en la notación del intervalo aparece un corchete [ o ] junto a un número, ese número pertenece al intervalo y se marca con punto sólido (●). Si aparece un paréntesis ( o ), ese número no pertenece al intervalo y se marca con punto hueco (○) o se usa el propio paréntesis en la recta.

Representación de Números Reales en la Recta

Representación de raíces cuadradas (usando Teorema de Pitágoras):

Para representar √13:

1. Buscamos dos números cuyos cuadrados sumen 13. En este caso, 3² + 2² = 9 + 4 = 13.
2. Dibujamos un triángulo rectángulo sobre la recta real con catetos de longitud 3 (sobre el eje) y 2 (perpendicular al eje a partir del punto 3).
3. La hipotenusa de este triángulo medirá √(3² + 2²) = √13.
4. Con un compás, pinchando en el origen (0) y abriendo hasta el extremo de la hipotenusa, trazamos un arco hasta cortar la recta real. El punto de corte es √13.

Simplificación de raíces (Propiedades de los exponentes):

La raíz n-ésima se puede expresar como una potencia de exponente fraccionario: ⁿ√aᵐ = a^(m/n).

Ejemplo:

√a⁴ (donde √ es la raíz cuadrada, n=2)

√a⁴ = a^(4/2) = a²

Esto se debe a que el índice de la raíz cuadrada es 2.