Ejercicios Resueltos de Matemática Financiera: Interés, TAE, Inflación y Préstamos

Cálculo del Valor Líquido de una Letra

Hallar el valor líquido de una letra de nominal 30.000 € que vence dentro de 100 días si se descuenta al 4,25% anual, con una comisión del 1 por mil (mínima 8 euros) y gastos de 0,35 €.

Datos:

• Nominal (N): 30.000 €
• Tipo de descuento (d): 4,25% = 0,0425
• Tiempo (t): 100 días
• Comisión (Com): 1‰ = 0,001 (mínimo 8 €)
• Gastos fijos (Gf): 0,35 €

Cálculos:

Fórmula del Valor Líquido (Efectivo): VLE = N - Dc - Com - Gf

1. Descuento comercial (Dc):
   Dc = N * d * t / 360
Dc = 30.000 * 0,0425 * 100 / 360 = 354,17 €
2. Comisión (Com):
   Com = N * 0,001
Com = 30.000 * 0,001 = 30 € (Como 30 € > 8 €, se aplica 30 €)
3. Valor Líquido Efectivo (VLE):
   VLE = 30.000 - 354,17 - 30 - 0,35
VLE = 29.615,48 €

Cálculo de Intereses en Depósito a Plazo Fijo y TAE

Hemos depositado 5.000 € en un plazo fijo a 6 meses al 4% nominal anual de interés.

Intereses al Vencimiento (Interés Simple)

¿Cuánto nos ingresará el banco en nuestra cuenta el día del vencimiento?

Fórmula del Capital Final (Interés Simple): Cn = Co * (1 + i * n)

• Capital inicial (Co): 5.000 €
• Tipo de interés nominal anual (i): 4% = 0,04
• Tiempo (n): 6 meses = 6/12 años

Cn = 5.000 * (1 + 0,04 * 6/12)
Cn = 5.000 * (1 + 0,02)
Cn = 5.000 * 1,02 = 5.100 €

El banco ingresará 5.100 € al vencimiento.

Cálculo de la TAE

¿Cuál es la Tasa Anual Equivalente (TAE)?

La TAE considera la capitalización de intereses. Si el interés nominal es anual pero la liquidación es semestral (como en este caso, un depósito a 6 meses), la TAE será ligeramente superior al nominal.

Cálculo basado en la reinversión semestral sobre una base de 100 €:

1. Interés primer semestre (S1):
   100 * 0,04 * (6/12) = 2 €
2. Interés segundo semestre (S2) (capitalizando el interés del primero):
   (100 + 2) * 0,04 * (6/12) = 102 * 0,02 = 2,04 €
3. Interés total anual:
   Total = S1 + S2 = 2 + 2,04 = 4,04 €
4. TAE:
   TAE = (Interés total anual / Capital inicial) * 100
TAE = (4,04 / 100) * 100 = 4,04%

Interés Simple vs. Interés Compuesto

Explicación de las diferencias entre interés simple y compuesto, aplicadas a un préstamo de 1.000 € al 10% anual durante 3 años.

Definiciones:

• Interés Simple: Los intereses se calculan siempre sobre el capital inicial. Los intereses generados en cada periodo no se añaden al capital para generar nuevos intereses y suelen entregarse al prestamista periódicamente.
• Interés Compuesto: Los intereses generados en cada periodo se acumulan al capital inicial. En los periodos siguientes, los intereses se calculan sobre el capital acumulado (capital inicial + intereses anteriores).

Aplicación al Préstamo:

• Capital inicial (Co): 1.000 €
• Tipo de interés anual (i): 10% = 0,1
• Tiempo (n): 3 años

Cálculo con Interés Simple:

Intereses totales (I):
I = Co * i * n
I = 1.000 * 0,1 * 3 = 300 €

Capital Final (Cn):
Cn = Co * (1 + i * n)
Cn = 1.000 * (1 + 0,1 * 3) = 1.000 * (1 + 0,3) = 1.300 €

Cálculo con Interés Compuesto:

Capital Final (Cn):
Cn = Co * (1 + i)^n
Cn = 1.000 * (1 + 0,1)^3 = 1.000 * (1,1)^3 = 1.000 * 1,331 = 1.331 €

Intereses totales (I):
I = Cn - Co
I = 1.331 - 1.000 = 331 €

Diferencia de Resultados:

Los intereses generados con el interés compuesto (331 €) son mayores que los generados con el interés simple (300 €). Esto ocurre porque en el interés compuesto, los intereses del primer y segundo año se suman al capital y generan, a su vez, nuevos intereses en los años siguientes.

Evolución del Poder Adquisitivo

En el primer mes de 2010 cobré 950 € y en el primer mes de 2014 he cobrado 1.025 €. Supuesta una tasa de inflación del 1,5% anual acumulativo, ¿ha mejorado mi poder adquisitivo?

Cálculos:

Podemos abordarlo de dos maneras:

1. Actualizar el salario de 2010 a valor de 2014:
   Calculamos cuánto debería ser el salario en 2014 para mantener el poder adquisitivo de 2010.
   Salario_Equivalente_2014 = Salario_2010 * (1 + tasa_inflación)^n
   Donde n = 2014 - 2010 = 4 años.
   Salario_Equivalente_2014 = 950 * (1 + 0,015)^4
Salario_Equivalente_2014 = 950 * (1,015)^4 ≈ 950 * 1,06136 ≈ 1.008,30 €
   Conclusión: Como el salario cobrado en 2014 (1.025 €) es mayor que el salario equivalente necesario (1.008,30 €), el poder adquisitivo ha mejorado.
2. Deflactar el salario de 2014 a valor de 2010:
   Calculamos cuánto valía el salario de 2014 en euros de 2010.
   Salario_Equivalente_2010 = Salario_2014 / (1 + tasa_inflación)^n
Salario_Equivalente_2010 = 1.025 / (1 + 0,015)^4
Salario_Equivalente_2010 = 1.025 / (1,015)^4 ≈ 1.025 / 1,06136 ≈ 965,74 €
   Conclusión: Como el valor del salario de 2014 en euros de 2010 (965,74 €) es mayor que el salario cobrado en 2010 (950 €), el poder adquisitivo ha mejorado.

Resultado: El poder adquisitivo ha mejorado.

Valor del Dinero en el Tiempo (Inflación)

Supuesta una tasa de inflación del 3% anual acumulativo, ¿cuánto valdría el 31 de diciembre de 2011 un euro del 1 de enero de 1999?

Cálculo:

Necesitamos calcular el valor futuro (C_final) de un capital inicial (Co) de 1 € después de un número determinado de años (n) con una tasa de inflación (i).

• Capital inicial (Co): 1 €
• Tasa de inflación (i): 3% = 0,03
• Tiempo (n): Desde el 1 de enero de 1999 hasta el 31 de diciembre de 2011 son 13 años completos (1999, 2000, ..., 2011).

Fórmula del Valor Futuro: C_final = Co * (1 + i)^n

C_final = 1 * (1 + 0,03)^13
C_final = 1 * (1,03)^13 ≈ 1,4685 €

Un euro del 1 de enero de 1999 tendría un valor equivalente a 1,47 € (redondeado) el 31 de diciembre de 2011, debido a la inflación acumulada.

Cuadro de Amortización de un Préstamo

Se solicita redactar (la estructura y cálculos iniciales) un cuadro de amortización para un préstamo de 15.000 € que se amortiza mediante cinco anualidades constantes, inmediatas y postpagables, con un tipo de interés del 9% anual.

Cálculo de la Anualidad Constante (a):

La anualidad constante (pago periódico) se calcula utilizando la fórmula del valor actual de una anualidad:

PV = a * [1 - (1 + i)^-n] / i

Donde:

• PV (Valor Actual / Préstamo): 15.000 €
• i (Tipo de interés por periodo): 9% = 0,09
• n (Número de periodos): 5 años
• a (Anualidad): La incógnita a calcular

Despejando 'a':

a = PV * i / [1 - (1 + i)^-n]
a = 15.000 * 0,09 / [1 - (1 + 0,09)^-5]
a = 1.350 / [1 - (1,09)^-5]
a = 1.350 / [1 - 0,649931...]
a = 1.350 / 0,350068... ≈ 3.856,39 €

Estructura del Cuadro de Amortización:

El cuadro tendría las siguientes columnas:

• Año: Del 1 al 5.
• Anualidad (a): Constante, 3.856,39 € cada año.
• Cuota de Interés (I): Calculada sobre el saldo pendiente del año anterior. I_k = Saldo_{k-1} * i
• Cuota de Amortización (A): Parte de la anualidad que reduce la deuda. A_k = a - I_k
• Total Amortizado: Suma acumulada de las cuotas de amortización. TA_k = TA_{k-1} + A_k
• Saldo Pendiente (Resto por Amortizar): Deuda restante al final del año. Saldo_k = Saldo_{k-1} - A_k

Nota: Para completar el cuadro, se calcularían fila por fila los valores de Interés, Amortización, Total Amortizado y Saldo Pendiente para cada uno de los 5 años.

Definiciones Financieras

Préstamo

Un préstamo es una operación mediante la cual una entidad financiera (banco u otra entidad) pone a disposición del prestatario una cantidad determinada de dinero mediante un contrato, con la obligación de devolver dicha cantidad junto con los intereses pactados en un plazo determinado.

Descuento Comercial en Factura

Cuando una empresa realiza un descuento comercial que figura explícitamente en la factura, dicho descuento minora la base imponible sobre la cual se calcula el impuesto indirecto aplicable (como el IVA).

Datos Auxiliares

Días por Mes (Año no bisiesto):

• Enero: 31
• Febrero: 28
• Marzo: 31
• Abril: 30
• Mayo: 31
• Junio: 30
• Julio: 31
• Agosto: 31
• Septiembre: 30
• Octubre: 31
• Noviembre: 30
• Diciembre: 31

Años bisiestos: En los años bisiestos, febrero tiene 29 días. Un año es bisiesto si es divisible por 4, excepto si es divisible por 100 pero no por 400.