Ejercicios Resueltos de Lógica Proposicional: Tablas de Verdad y Reglas de Inferencia
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Tablas de Verdad y Conectivas Lógicas
| p | q | p ∧ q (Conjunción) | p ∨ q (Disyunción) | p → q (Condicional) | p ↔ q (Bicondicional) |
|---|---|---|---|---|---|
| V | V | V | V | V | V |
| V | F | F | V | F | F |
| F | V | F | V | V | F |
| F | F | F | F | V | V |
Interpretación de Resultados
- Tautología: Una proposición que es siempre verdadera (ej: VVVV).
- Contradicción: Una proposición que es siempre falsa (ej: FFFF).
- Indeterminación (o Contingencia): Una proposición cuyos valores de verdad varían (ej: VFVF).
Condiciones de Verdad de las Conectivas
- Conjunción (∧): Es Verdadera (V) solo si ambas proposiciones (p, q) son V.
- Disyunción (∨): Es Falsa (F) solo si ambas proposiciones (p, q) son F.
- Condicional (→): Es Falsa (F) solo si el antecedente (p) es V y el consecuente (q) es F.
- Bicondicional (↔): Es Verdadera (V) si ambas proposiciones (p, q) tienen el mismo valor de verdad (ambas V o ambas F).
Nota sobre ejercicio test 1: 1.1=B, 1.2=C.
Formalización y Reglas de Inferencia
Ejemplo de Formalización y Derivación 1
Variables proposicionales:
- p: Recibes regalos.
- q: Es tu santo.
- r: Es tu cumpleaños.
- s: Te pones muy contento.
Premisas y Conclusión:
Premisa 1: p ↔ (q ∨ r)
Premisa 2: p → s
---------------------
Conclusión: (q ∨ r) → s
Derivación:
- p ↔ (q ∨ r) (Premisa 1)
- p → s (Premisa 2)
- (q ∨ r) → p (Equivalencia del Bicondicional (E↔) en 1)
- (q ∨ r) → s (Silogismo Hipotético (SH) entre 3 y 2)
Reglas de Inferencia Principales
- MP (Modus Ponens):
1. p → q
2. p
------
3. q - MT (Modus Tollens):
1. p → q
2. ¬q
------
3. ¬p - SD (Silogismo Disyuntivo):
1. p ∨ q
2. ¬q (o ¬p)
------
3. p (o q) - SH (Silogismo Hipotético):
1. p → q
2. q → r
------
3. p → r - I∧ (Introducción de la Conjunción / Adjunción):
1. p
2. q
------
3. p ∧ q - E∧ (Eliminación de la Conjunción / Simplificación):
1. p ∧ q
------
2. p (o q) - I∨ (Introducción de la Disyunción / Adición):
1. p
------
2. p ∨ q - DC (Dilema Constructivo):
1. p ∨ q
2. p → r
3. q → s
------
4. r ∨ s - E↔ (Eliminación del Bicondicional):
1. p ↔ q
------
2. p → q (o q → p) - I↔ (Introducción del Bicondicional):
1. p → q
2. q → p
------
3. p ↔ q - T (Transposición / Contraposición):
1. p → q
------------
2. ¬q → ¬p - IM (Implicación Material):
1. p → q
------------
2. ¬p ∨ q - DM (Leyes de De Morgan):
1. ¬(p ∧ q) ↔ (¬p ∨ ¬q)
2. ¬(p ∨ q) ↔ (¬p ∧ ¬q)
Ejemplo de Formalización y Derivación 2
Variables proposicionales:
- p: Iré a tu fiesta de cumpleaños.
- q: Iré al cine.
- r: Me dan la paga.
- s: Te compraré un regalo.
Premisas y Conclusión:
Premisa 1: p ∧ q
Premisa 2: ¬r → ¬q
Premisa 3: r → s
--------------
Conclusión: s ∨ ¬p
Derivación:
- p ∧ q (Premisa 1)
- ¬r → ¬q (Premisa 2)
- r → s (Premisa 3)
- q (Eliminación de ∧ (E∧) en 1)
- r (Modus Tollens (MT) entre 2 y 4, aplicando doble negación a q)
- s (Modus Ponens (MP) entre 3 y 5)
- s ∨ ¬p (Introducción de ∨ (I∨) en 6)
Ejemplo de Formalización y Derivación 3
Variables proposicionales:
- p: La tormenta continúa.
- q: Anochece.
- r: Nos quedaremos a cenar.
- s: Nos quedaremos a dormir.
- t: Iremos mañana al concierto.
Premisas y Conclusión:
Premisa 1: (p ∨ q) → (r ∨ s)
Premisa 2: (r ∨ s) → ¬t
Premisa 3: t
------------------
Conclusión: ¬p
Derivación:
- (p ∨ q) → (r ∨ s) (Premisa 1)
- (r ∨ s) → ¬t (Premisa 2)
- t (Premisa 3)
- ¬(r ∨ s) (Modus Tollens (MT) entre 2 y 3)
- ¬(p ∨ q) (Modus Tollens (MT) entre 1 y 4)
- ¬p ∧ ¬q (Ley de De Morgan (DM) en 5)
- ¬p (Eliminación de ∧ (E∧) en 6)
Evaluación de Proposiciones Lógicas
Proposición: Si Jonathan es muy aplicado en los estudios y, si no estudia para el examen entonces suspenderá el trimestre, entonces estudia para el examen.
Variables: p = Jonathan es muy aplicado en los estudios; q = Estudia para el examen; r = Suspenderá el trimestre.
Formalización: [p ∧ (¬q → r)] → q
Evaluación: VVFVVVVV = Indeterminación
Proposición: Si la tormenta continúa entonces nos quedaremos en casa, y la tormenta continúa. Por lo tanto, nos quedaremos en casa y veremos una película.
Variables: p = La tormenta continúa; q = Nos quedaremos en casa; r = Veremos una película.
Formalización: [(p → q) ∧ p] → (q ∧ r)
Evaluación: VFVVVVVV = Indeterminación
Proposición: Si la Luna es mayor que la Tierra entonces la Tierra es mayor que el Sol, y si la Tierra es mayor que el Sol entonces Júpiter es mayor que Plutón. Por lo tanto, si la Luna es mayor que la Tierra entonces Júpiter es mayor que Plutón.
Variables: p = La Luna es mayor que la Tierra; q = La Tierra es mayor que el Sol; r = Júpiter es mayor que Plutón.
Formalización: [(p → q) ∧ (q → r)] → (p → r)
Evaluación: VVVVVVVV = Tautología (Forma del Silogismo Hipotético)
Proposición: Si María y Beatriz no se llevan bien y, o Beatriz le pide perdón a María o no van a hacer las paces, entonces si Beatriz le pide perdón a María, van a hacer las paces.
Variables: p = María y Beatriz se llevan bien; q = Beatriz le pide perdón a María; r = Van a hacer las paces.
Formalización: [¬p ∧ (q ∨ ¬r)] → (q → r)
Evaluación: VVVVVFVV = Indeterminación
Proposición: Si, si Eduardo no juega al baloncesto entonces juega al tenis, y si juega al tenis entonces usa raquetas de madera, y además no usa raquetas de madera, entonces Eduardo juega al baloncesto.
Variables: p = Eduardo juega al baloncesto; q = Eduardo juega al tenis; r = Eduardo usa raquetas de madera.
Formalización: [((¬p → q) ∧ (q → r)) ∧ ¬r] → p
Evaluación: VVVVVVVV = Tautología (Forma del Modus Tollens extendido)