Ejemplo de matriz antisimetrica

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Escrito el 7 de Abril de 2020 en español con un tamaño de 43,64 KB

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SISTEMA DE ECUACIONES

Toda igualdad algebraica que se verifica únicamente para ciertos Valores particulares de sus incógnitas, es una igualdad condicionada. Resolver Una ecuación es determinar valores parar Las incógnitas que hacen cierta una igualdad. Estos valores son soluciones o Raíces.

El conjunto de todas las soluciones se llama solución de la Ecuación.

Ecuaciones cuya incógnita es de Primer grado

Ax+b=0

·Si A ǂ0 entonces x=b/a es solución única de ax=b

Ø4x-1=x+6

Ø4x-x=6+1

Ø3x=7

ØX=7/3

·Si A=0, pero Bǂ0 no tiene solución

Ø2x-5-x=x+3

ØX-5=x+3

ØX-x=5-3

ØX-x=8

Ø0x=8 NO TIENE SOLUCIÓN (indeterminada)

·Si A=0 y B=0, todo número real K es solución

Ø4+x-3=2x+1-x

ØX+1=x+1

ØX-x=1-1

Ø0X=0 TODO NÚMERO REAL K ES SOLUCIÓN DE LA ECUACIÓN

ECUACIÓN LINEAL CON 2 Incógnitas

AX+BY=C

Donde A B C son número reales y A B no son ambos 0

Toda solución de la ecuación determina un punto en el plano Cartesiano. Como A y B no son nulos, todas las soluciones corresponden a los Puntos de una línea recta que se denomina gráfico de la ecuación.

DOS ECUACIONES LINEALES CON DOS INCÓGNITAS

Método de Sustitución

El método de sustitución consiste en aislar en una ecuación Una de las dos incógnitas para sustituirla en la otra ecuación. Este método es aconsejable cuando una de las Incógnitas tiene coeficiente 1.

Ejemplo

Solución

1. Aislamos una incógnita

Vamos a Aislar la x de la primera ecuación. Como su coeficiente es 1, sólo tenemos que Pasar el 4 restando al otro lado:

Ya Tenemos aislada la incógnita x.

2. Sustituimos la incógnita en la otra ecuación

Como Tenemos que la incógnita x es igual 2y-4, escribimos 2y-4 en lugar de la x en La segunda ecuación (sustituimos la x):

Observad Que hemos utilizado paréntesis porque el coeficiente 2 tiene que multiplicar a Todos los términos.

3. Resolvemos la ecuación obtenida:

Ya Sabemos una incógnita: y=3.

4. Calculamos la otra incógnita sustituyendo:

Al Despejar la incógnita x teníamos

Como conocemos Y=3, sustituimos en la ecuación:

Por Tanto, la otra incógnita es x=2.

Método de Reducción

El método de reducción consiste en sumar (o restar) las Ecuaciones del sistema para eliminar una de las incógnitas.

Este método es aconsejable cuando una misma incógnita tiene en ambas Ecuaciones el mismo coeficiente (restamos las ecuaciones) o los coeficientes Son iguales pero con signo opuesto (sumamos las ecuaciones).

Ejemplo

Solución

1. Comprobamos los coeficientes

Hay que Asegurarse de que al sumar o restar las ecuaciones, alguna de las incógnitas Desaparece:

Escogemos Una incógnita a eliminar: la y.
Sus Coeficientes son -1 (en la primera) y 1 (en la segunda).
Como Son iguales y de signo contrario, sumaremos las ecuaciones.

Nota:

si ninguna de las incógnitas tiene el mismo Coeficiente, podemos multiplicar cada ecuación por el número distinto de 0 que Sea necesario para conseguirlo. Un ejemplo de esto lo podemos encontrar en El Problema 2.

2. Sumamos o restamos las ecuaciones

Sumamos Las ecuaciones para eliminar la y:

3. Resolvemos la ecuación obtenida

4. Calculamos la otra incógnita sustituyendo

Sustituimos La incógnita x por 7 en alguna de las ecuaciones y la resolvemos:

La Solución del sistema es

Método de Igualación

El método De igualación consiste en aislar una incógnita en las dos ecuaciones Para igualarlas.

Este Método es aconsejable cuando una misma incógnita es fácil de aislar en ambas Ecuaciones.

Ejemplo 3

Ejemplo

1. Aislamos una incógnita en las dos ecuaciones

Escogemos Aislar la incógnita x:

2. Igualamos las expresiones

Como X=x, podemos igualar las expresiones obtenidas:

3. Resolvemos la ecuación

Resolvemos La ecuación de primer grado obtenida:

4. Calculamos la otra incógnita sustituyendo

Sustituimos El valor de la incógnita y en alguna de las expresiones calculadas Anteriormente (la primera, por ejemplo):

La Solución del sistema es

FUNCIÓN

Dados dos conjuntos A y B, una función entre ellos es una Asociación donde a cada elemento de A le asigna un único elemento de B. Se dice Entonces que A es el dominio (también conjunto de partida o conjunto inicial) y B es su codominio (también conjunto de llegada o conjunto final). Por ej.: El precio que pagamos por las Frutillas depende del número de kilogramos que compremos

Una función está definida por:

·Un conjunto de partida o Dominio.

·Un conjunto de llegada o Codominio.

·Una regla tal que a cada elemento del Dominio le Hace corresponder un único elemento del conjunto de llegada o Codominio.

En esta situación se consideran dos variables: el precio y Los kilos

Como el precio “depende” de los kilos que compremos, se Llama variable dependiente, se simboliza con la letra Y; se representa en el Eje ordenadas. Los kilos, en este caso, reciben el nombre de variable Independiente y se simboliza con la letra x; se representa en el eje de Abscisas.

Dominio de una función Es el conjunto formado por todos los valores que puede tomar la variable X.

Imagen de una función Es el conjunto formado por todos los valores de la variable Y que resulta de Aplicar la función a los elementos de su dominio.

La regla o ley de asignación la podemos expresar con una Fórmula que nos permite determinar el valor de la variable Y para cada valor de La variable X

REPRESENTACIÓN CARTESIANA DE UNA FUNCIÓN

Representar una función en el plano cartesiano consiste en Ubicar a las parejas (x; y) que pertenecen a ella.

CLASIFICACIÓN DE FUNCIONES

-Es creciente cuando los valores de X (dominio) e Y (imagen) aumentan, haciendo que la Gráfica suba.

-Es decreciente cuando los valores de X (dominio) aumentan pero los de Y (imagen) disminuyen, Haciendo que la gráfica baje.

Una función es constante cuando a medida que aumenta el Valor de X (dominio), se mantiene el mismo valor en Y (imagen).

FUNCIÓN INYECTIVA, SOBRYECTIVA Y BITECTIVA

·Una función es inyectiva cuando a elementos Distintos del dominio le corresponden imágenes distintas en el codominio. Gráficamente: si alguna recta perpendicular al eje Y, interseca al gráfico de Una función en más de un punto, dicha función no es inyectiva.

·Una función es sobreyectiva cuando todos los Elementos del codominio pertenecen a la imagen de la función. En tal caso, cada Uno de los elementos del conjunto de llegada es imagen de por lo menos un Elemento del dominio. Gráficamente: si Alguna recta perpendicular al eje, Y no interseca al gráfico de una función (de R→R) en un punto, dicha función no es sobreyectiva.

·Una función es biyectiva si es inyectiva y Sobreyectiva a la vez. Es decir, cuando todos los elementos del codominio, y Cada uno de ellos es imagen de solamente un elemento del dominio.

FUNCIÓN PAR E IMAR

·Una función f es par, si a elementos opuestos Aditivos del dominio corresponden elementos iguales en el rango.

ØEs decir, f es par si: f(-x) = f(x)

ØLa gráfica de una función par es simétrica Respecto a una recta.

·Una función f es impar, si a elementos opuestos Aditivos del dominio corresponden también elementos opuestos aditivos en el Rango.

ØUna función f es impar si: f(x) = f(-x)

ØLa gráfica de una función impar es simétrica respecto A un punto.

SIMETRÍAS DE UNA FUNCIÓN

·Simetría respecto a una recta: La curva de una Función es simétrica respecto a una recta L si para cada punto P de la curva, Es posible encontrar al otro lado de la recta, otro punto P’, también Perteneciente a la curva, tal que P y P’ equidistan de la recta L.

·Simetría respecto a un punto: La curva de una Función es simétrica respecto a un punto O, si dado un punto P, se pude Encontrar otro punto P’ sobre la recta OP, tal que P y P’ equidistan del punto O.

Para que una función tenga inversa tiene que ser biyectiva.

Función INVERSA

Si una función es inversa de otra, sus gráficos son Simétricos con respecto a la recta que contiene a la bisectriz del primer y Tercer cuadrantes.

Se llama función inversa de f(x) a otra función que se Designa por f’(x) que cumple la siguiente condición:

Si f(a) = b, entonces F’ (b) = a

·Para determinar la fórmula correspondiente a la Inversa de una función, por ejemplo f(x) = x – 3, debemos:

Escribir la fórmula de f. y = 3x

Intercambiar x e y. x = y – 3

Despejar y. X + 3 = y

Si F(x) = x – 3 entonces f-1(x) = x + 3.

Una función lineal es una función Polínómica de primer grado. Es decir, tiene la siguiente forma siendo m≠0m

m es la pendiente de la Función

ØSi la pendiente es positiva, la función Es creciente.

ØSi la pendiente es negativa, la función Es decreciente.

n es la ordenada (en el Origen) de la función
La Gráfica de una función lineal es siempre una recta.

Una función cuadrática (o parabólica)
Es una Función polínómica de segundo grado. Es decir, tiene la forma

Siendo condición Fundamental que A sea distinto de 0; de lo contrario la función se convierte en Lineal.

Esta forma de escribir la función se denomina forma General.

La Representación gráfica de este tipo de función es una curva llamada parábola.
, Con sus ramas que se extienden hacia arriba o hacia abajo. Los dos puntos en Los cuales esta gráfica corta al eje de las abscisas, son las raíces (x₁ y X₂). El punto donde se unen las ramas o cambia de creciente a Decreciente o viceversa; recibe el nombre de vértice de la Parábola y sus coordenadas son: (x_v ; y_v). Además, La parábola resulta simétrica con respecto a una recta que pasa por el origen De coordenadas llamada eje de simetría, cuya ecuación es x = x_v.

La ecuación que representa a este tipo de función La podemos indicar de tres maneras diferentes:

Polínómica: Y = ax² + bx + c.

Es necesario Que el coeficiente principal (a) sea distinto de 0. Este valor indica el Sentido de las ramas:

Øsi a > 0, las Ramas se extienden hacia arriba y la parábola tiene un punto mínimo en el Vértice de la misma.

Øsi a < 0, las Ramas se extienden hacia abajo y la parábola tiene un punto máximo en el Vértice de la misma.

A b se lo llama coeficiente del Término lineal, y c es el término independiente que representa La ordenada al origen

Canónica: Y = a(x – x_v)² + y_v.

Partiendo de la forma polínómica, se pueden Calcular las coordenadas del vértice para expresar la ecuación de esta manera:

x_v = - b / 2a E y_v = F (xv)

Factorizada: Y = a (x – x₁) (x – x₂).

A partir de la forma polínómica se pueden calcular Las raíces de la función, utilizando la fórmula de la resolvente general:

También podemos indicar el tipo de raíces que tiene la Función, empleando la ecuación del Discriminante:

∆= B2 – 4ac

A partir de este cálculo, se pueden obtener tres tipos de Resultados:

∆> 0

La función tendrá dos raíces reales distintas. Gráficamente lo Observamos mediante los dos puntos de intersección de la parábola con el eje x.

∆= 0

Tiene raíces coincidentes y corresponde a un punto del eje de Abscisas.

∆< 0

La función tiene raíces imaginarias. Gráficamente lo observamos Mediante una parábola que se encuentra totalmente sobre o totalmente debajo del Eje de abscisas; por lo tanto no tendrá ningún punto de contacto con dicho eje.

Una función exponencial es Aquella que la variable independiente x aparece en el exponente y tiene de base Una constante a. Su expresión es:

Expresión general de una función exponencial.

F(x)= a^x siendo a un real positivo, a > 0, y diferente de 1, a ≠ 1.

Integral de la función exponencial

·Todas las funciones exponenciales son continuas.

·ASINTOTAS: Si a es mayor que 1 (a > 1)
, la función es creciente
En cambio, si a es menor que 1 (a < 1), la función es decreciente
.(se van pegando al eje X)

·Dominio son todos los números reales

·Recorrido son todos los números reales positivos

·La imagen de 0 siempre es 1 y la imagen de 1 es a.

Así pues, las funciones Exponenciales siempre pasan por los puntos (0, 1) y (1, a).

·La función Exponencial es inyectiva.

PROPIEDADES

1)La función aplicada al valor cero es siempre igual a 1:

F (0) = a⁰ = 1.

2)La función exponencial de 1 es siempre igual a la base:

F (1) = a¹ = a.

3)La función exponencial de una suma de valores es igual al producto de la Aplicación de dicha función aplicada a cada valor por separado.

F (x + x?) = a^x+x? = A^x × a^x? = f (x) × f (x?).

4)La función exponencial de una resta es igual al cociente de su Aplicación al minuendo dividida por la función del sustraendo:

F (x - x?) = a^x-x? = a^x/a^x? = f (x)/f (x?).

Una función logarítmica está formada por un logaritmo de base a, y es de la forma:

Siendo a un real positivo, a > 0, y diferente de 1, a ≠ 1.

§Las funciones logarítmicas son continuas.

§Si a es mayor que 1 (a > 1)
, la función es estrictamente creciente
. En cambio, si a es menor que 1 (a < 1), la función es estrictamente decreciente
.

·Dominio son todos los números reales positivos

·Recorrido son todos los números reales

·Así pues, las funciones logarítmicas siempre pasan por Los puntos (1, 0) y (a, 1).

·Es inyectiva

Propiedades

Todas las funciones logarítmicas Cumplen las siguientes propiedades:

Función logarítmica del producto:
Log_a⁡〖(A .B) = log_a⁡A + log_a⁡B 〗

Ejemplo: Log(2x) = log⁡2 + log⁡x

2. Función logarítmica de la división:

Ejemplo:

3. Función logarítmica de la potencia:

Ejemplos: = 17;

Se lee logaritmo en base a de x. La base a debe ser positiva y distinta de 1.

Así:

· = 4, pues 2⁴ = 16

· = 3, pues 10³ = 1000

· = 5, pues 3⁵ = 243

· = 0, pues 10⁰ = 1

·Las bases usuales Son a = 10 y a = e. A los logaritmos En base 10 se les llama comunes o decimales;
Los logaritmos en base e se llaman naturales o neperianos.
En la práctica, se Puede indicar como , sin especificar la base, y se Denota por ln x o Lx.

MATRICES Y DETERMINANTES

Una matriz es una disposición ordenada de elementos Numéricos, esto es, una tabla de doble entrada que organiza sistemáticamente Cierta información cualitativa y cuantitativa.

Los elementos de La matriz van encerrados entre paréntesis o corchetes.

Ejemplo 2

B =

B es una matriz 3 X 2 (tres filas y dos columnas). Primero se nombran las filas y luego las Columnas.

Vectores

Una matriz de la Forma:

A = se llama vector columna ya que tiene orden M x 1, o bien, orden m o dimensión m.

A = se llama vector fila ya que tiene orden 1 x n, o bien, orden n o dimensión n.

Ejemplo 3

D = es Un vector fila de dimensión 3. E = es un vector Columna de dimensión 3.

Matrices iguales

Dos matrices son Iguales cuando son del mismo orden y además son iguales los elementos ubicados En la misma posición.

Tipos de Matrices

Matriz Rectangular

: es Aquella en que el número de filas es distinto al número de columnas.

Ejemplo: la Matriz A = es rectangular de orden 2 x 3.

Matriz Cuadrada

: es aquella Matriz que tiene el mismo número de filas que de columnas.

Ejemplo: la Matriz B = es cuadrada de orden 3.

Matriz Diagonal

: es aquella Matriz cuadrada que tiene nulos los elementos con excepción de los de la Diagonal principal.

Ejemplo: la Matriz C = es diagonal de orden 3.

Matriz Escalar

: es aquella Matriz diagonal que tiene todos los elementos de la diagonal principal iguales a Un escalar c 0 fijo.

Ejemplo: la Matriz D = es escalar de orden 3.

Matriz Unidad o identidad

: Es una matriz escalar donde todos los elementos de la diagonal principal valen 1 y se simboliza I.

Ejemplo: la Siguiente es una matriz identidad de orden 3, I_3x3 = .

Matriz Triangular inferior

: Es la matriz cuadrada que tiene todos los elementos ubicados sobre la diagonal Principal.

Ejemplo: E =

Matriz Triangular superior

: Es la matriz cuadrada que tiene nulos todos los elementos que se encuentran por Debajo de la diagonal principal.

Ejemplo: F =

Matriz Columna

: es aquella Matriz que tiene una única columna. También se la denomina vector columna.

Ejemplo: G = es un vector columna, una matriz de orden 3 x 1.

Matriz Fila

: es aquella Matriz que consta de una sola fila. Se denomina también vector fila.

Ejemplo: la Matriz H = es Un vector fila, una matriz de orden 1 x 4.

10)

Matriz Escalonada

: una Matriz J_mxn está en forma escalonada si cumple con las siguientes condiciones:

-Las Entradas principales deben ser iguales a la unidad, siendo la entrada principal el primer elemento distinto De cero que se lee en cada una de las filas, haciéndolo de izquierda a derecha.

-Cada Entrada principal debe estar a la derecha de la entrada principal de la fila Precedente.

-En Caso de poseer filas nulas, deben estar en la parte inferior de la matriz.

Ejemplo: J =

11)

Matriz Escalonada reducida

: La matriz K_mxnse considera escalonada reducida si:

-Está En forma escalonada.

-Cada Entrada principal es el único elemento distinto de cero en su columna.

Ejemplo: K =

Traspuesta de una matriz

Dada una matriz A De orden p x q, se llama matriz traspuesta de A y se simboliza A^T o A^t a una matriz de orden q x p que se obtiene a partir de A Cambiando filas por columnas ordenadamente.

Ejemplo 1: Dada La matriz A_3x4 = , su traspuesta es: A^T = .

Operaciones entre matrices

A)Suma

Dadas las Matrices A y B de igual orden p x q, se llama suma de A y B, y se simboliza S = A + B, a una matriz S de orden p x q tal que cada elemento se obtiene sumando Los que ocupan la misma posición en cada una de las matrices.

Ejemplo: Dadas Las matrices A_3x2 = y B_3x2 = , la suma Entre ellas resulta ser otra matriz de Orden 3 x 2 definida por S_3x2 = .

B)Diferencia

Dadas dos Matrices A y B del mismo orden, se define la diferencia A – B, de la siguiente Manera:

A – B = A + (- B)

Restar una matriz B de otra A (del mismo orden) es sumar a ésta la opuesta de la primera, es Decir, sumar aquella que tiene todos sus elementos cambiados de signo.

Ejemplo: Dadas Las matrices A_3x2 = y B_3x2 = , la Matriz diferencia es:

(A – B)_3x2 = D_3x2 = + = .

C)Producto De una matriz por un número real

Dado un número Real t y una matriz A de orden pxq, se llama producto del número t por la Matriz A y se simboliza t . A a otra matriz de orden pxq cuyos elementos se Obtienen multiplicando por t cada elemento de la matriz.

Ejemplo:

Si t = -2 y A_3x3 = , Entonces: (-2) . A_3x3 = .

Por lo tanto: (-2) . A_3x3 = .

D)Producto Entre matrices

Primero vamos a Definir el producto de una matriz fila por una matriz columna, a condición de Que si la primera es de orden 1 x q, la segunda sea de orden q x 1.

Ejemplo 1: Sean Las matrices: A = y B = ; el Producto entre ellas se obtiene así: A x B = [2 . 0 + (-4) . 1 + 5 . 7]. De Este modo A x B = 31.

El resultado es Una matriz de orden 1 x 1.

Dos matrices A y B se dicen Multiplicables si el número de columnas de A coincide con el número De filas de B. El resultado será una matriz con tantas Filas como el primer factor y tantas columnas como el segundo factor.

A_mxnx B_nxp = C_mxp

El Elemento c_ij de la matriz producto se obtiene multiplicando cada elemento de la Fila i de la matriz A por cada elemento de la Columna j de la matriz B y sumándolos.

Ejemplo 2:

Calcular el Producto de las matrices: A = y B =

¿Se pueden Multiplicar A y B?

A es de Orden 3 x 1 y B es 2 x 1. Si se pueden multiplicar porque el número de columnas De A es igual al de renglones de B.

Cada elemento de La matriz producto C = AB es el resultado Del producto escalar de un renglón de A por una columna De B.

De este modo:

(Renglón 1 de A). (Columna 1 de B) = c₁₁

(Renglón 2 de A). (Columna 1 de B) = c₂₁

(Renglón 3 de A). (Columna 1 de B) = c₃₁

C = A . B =

Ejemplo 3:

Multiplicar las Matrices: A = y B = .

Como A es 2 X 2 y B es 2 x 2, entonces el Producto se puede llevar a cabo, y la matriz C = AB es También 2 x 2. El procedimiento es multiplicar escalarmente los renglones De A por las columnas de B.

C = A . B =

Propiedades del producto de matrices

Asociativa

A · (B · C) = (A · B) · C

Elemento Neutro

A · I = A; donde I es la matriz identidad del mismo orden que la Matriz A.

Distributiva Del producto respecto de la suma

A · (B + C) = A · B + A · C

No Es Conmutativa

A · B ≠ B · A

Ejemplo:

A_2x3 = y B_3x2 =

(A . B)_2x2 = . =

(B . A)_3x3 = . =

Podemos ver que En este caso, A · B ≠ B · A, de hecho ni si Quiera tienen la misma dimensión, pues (A · B) ∈ M_2x2 y (B · A) ∈ M_3x3.

Equivalencia entre matrices

Dos matrices de la misma dimensión, A y B, Son equivalentes si existe una matriz elemental fila (o producto de Ellas), EE, tal que A=E⋅B Lo expresamos como A∼B.

Forma escalonada de una matriz

Si Hay filas de ceros (filas nulas), son las últimas.
El Primer elemento no nulo (de izquierda a derecha) de la primera fila, sólo Tiene ceros debajo (a no ser que la matriz sea una única fila). Al primer Elemento no nulo de la fila ii se le llama elemento Principal (o pivote)
De la fila ii.
Si Se cumplen las condiciones anteriores, la matriz que resulta al eliminar La primera fila y columna cumple las mismas condiciones.

Tres Matrices de dimensión 2x2 con forma escalonada:

Los pivotes de las matrices son 2, 3, 5, 4 y 2.

Dos Matrices de dimensión 3x3 con forma escalonada:

Los pivotes de las matrices son 2, 5, 2, 2, 5 y 3.

Forma escalonada reducida

Tiene Forma escalonada,
Todos Los pivotes son el número 1 y por debajo de éstos sólo hay 0's,
El Pivote de cada fila está a la izquierda de los pivotes de las filas Inferiores.

En la forma escalonada reducida, un pivote es siempre 1 y Suele llamarse "1 principal".

Dos Matrices de dimensión 3x3 con forma escalonada reducida:

Importante: la forma escalonada por renglones de una matriz No es única. Por lo tanto, una matriz puede ser equivalente a más de una matriz En forma escalonada por renglones.

En la forma escalonada por renglones, todos Los números que se encuentran debajo del primer 1 en un renglón, son cero.
En la forma escalonada reducida por renglones Todos los números que se encuentran debajo y sobre el primer 1 de un Renglón, son cero.

Matriz inversa

Definición: dada una matriz A, se llama matriz Inversa de ella y se simboliza A^-1 a la matriz que verifica la Siguiente igualdad: A^-1 . A = A . A^-1 = I.

A partir de la Definición se puede enunciar el siguiente teorema: Si una matriz A admite inversa, ésta es única.

Para demostrarlo, Supongamos que existen dos matrices inversas: B y C. Debemos probar que B y C Son iguales.

Por definición, Dado que B es una inversa de A, se cumple que: A . B = B . A = I

De igual manera, como C es una inversa de A, Vale A . C = C . A = I.

Pero: B = B . I = B . (A . C) = (B . A) . C = I . C = C.

por propiedad asociativa del producto entre matrices

Luego queda Probado que B = C y por lo tanto la Inversa de una matriz es única.

Inversa de una matriz cuadrada

Sean A y B dos Matrices cuadradas de orden n. Supongamos que A . B = B . A = I. Ya sabemos que B es la inversa de A y se denota A^-1.

Si A admite Inversa, decimos que es invertible o no singular.

Una matriz Cuadrada que no admite inversa, se llama singular.

De la definición Podemos concluir que (A^-1)^-1 = A, si A es invertible, y Además debemos tener en cuenta que la definición de matriz no establece que Toda matriz cuadrada tiene inversa. Existen Muchas matrices cuadradas que no tienen inversa.

Método del espejo Para calcular la inversa de una matriz

Partimos de la Matriz A = .

Comencemos Formando una nueva matriz de orden 2 x 4 que contiene a la matriz A y a la Identidad:

A I

Se coloca A a la Izquierda de la línea e I a la derecha.

Mediante Operaciones elementales con renglones tratamos de transformar la matriz A de la Izquierda en la matriz identidad; es decir, tratamos de escribir a la matriz A En su forma escalonada reducida por renglones.

La matriz que Resulta a la derecha: , es la inversa de A, o sea: A^-1.

También se puede Usar este método para saber si una matriz no tiene inversa. Para ello, se Aplican las operaciones elementales por renglones hasta que descubrimos que no Es posible formar la matriz I a la izquierda. Cuando sucede esto la matriz no Es invertible.

FUNCIÓN DETERMINANTE

Los determinantes Son instrumentos muy útiles en matemática y, particularmente, en el álgebra. Proporcionan, por ejemplo:

La posibilidad de caracterizar de manera muy Simple las distintas soluciones de los sistemas de ecuaciones, es decir, La solución de ecuaciones simultáneas.
Un método para la obtención de la inversa de Una matriz.

Definición: se llama determinante a una función cuyo dominio Es el conjunto de todas las matrices cuadradas reales, y cuya imagen es el Conjunto de los números reales.

Dada la matriz cuadrada A = det A = =

El orden de un Determinante será el orden de la matriz cuadrada de la cual es su imagen.

Menor complementario

Llamamos menor Complementario de un elemento a_hk de una matriz cuadrada de orden n, Al determinante de la matriz de orden (n – 1) que resulta de eliminar en la Matriz la fila h con la columna k. Lo representamos con M_hk.

Ejemplo: Dada la Matriz A = , encontrar los menores complementarios Correspondientes a los elementos a₁₂ y a₃₁.

Los menores Buscados son: M₁₂ = y M₃₁ = .

Determinante de segundo orden

Multiplico cruzado y resto = 7. 1 – 5. 2 = 7 – 10 = -3

Determinante de tercer orden

ØSe copian las dos primeras filas debajo de La tercera y se generan la fila cuatro y la fila cinco.

ØSe realiza el producto de los tres Elementos que ocupan la dirección de la diagonal principal y los productos de Los tres elementos que ocupan las posiciones de las diagonales paralelas a la Principal.

ØSe suman los tres números calculados

ØSe realiza el producto de los tres Elementos que ocupan la dirección de la diagonal secundaria y los productos de Los tres elementos que ocupan las posiciones de las diagonales paralelas a la Secundaria.

ØSe suman los tres números calculados:

ØSe resta el valor obtenido al trabajar con La diagonal principal menos el valor obtenido al trabajar con la diagonal Secundaria.

= (producto dirección diagonal principal) – (producto dirección diagonal secundaria)

Regla de Sarrus

. = [2 . 4 . (-1) + (-1) . (-2) . 5 3 . 0 . 1] – [5 . 4 . 3 + 1 . (-2) . 2 + (-1) . 0 . (-1)]

Propiedades de los determinantes

Las propiedades Enunciadas a continuación nos permiten trabajar con los determinantes de manera Más sencilla.

1)Todo Determinante es igual a la suma de los productos de los elementos de cualquier Línea por sus adjuntos correspondientes.

2)Los Determinantes de matrices traspuestas son iguales. Simbólicamente:

A partir de esta Propiedad, podemos afirmar que: todo lo Que es válido para las filas, es válido para columnas y recíprocamente. De Aquí en más, las propiedades se enunciarán para líneas en general.

3)Si Una matriz cuadrada tiene todos los elementos de una de sus líneas nulos, su Determinante es nulo

4)Si en Una matriz se multiplican (o dividen) todos los elementos de una de sus líneas Por un número distinto de cero, el determinante queda multiplicado (dividido) Por dicho número.

5)Un Determinante cambia de signo si se intercambian entre sí dos líneas paralelas (filas por filas o columnas por columnas).

6)Si en Una matriz existen dos líneas paralelas iguales, el determinante es nulo

7)Si en Una matriz cuadrada una línea es combinación lineal de las restantes líneas Paralelas a ella, su determinante es nulo.

8)Si en Una matriz cuadrada una línea es proporcional a otra, su determinante es nulo

9)Si de Una matriz A se obtiene otra A’ sustituyendo en la anterior una línea por la Que resulta de sumarle a ella otra previamente multiplicada por un número, Ambas tienen el mismo determinante.

10)En Todo determinante, la suma de los productos de los elementos de una línea por Los adjuntos de otra línea paralela a ella es nula.

Método para calcular determinantes de cualquier Orden

Aplicando la Propiedad que dice: Si de una matriz A se Obtiene otra A’ sustituyendo en la anterior una línea por la que resulta de Sumarle a ella otra línea paralela previamente multiplicada por un número, Ambas tienen el mismo determinante; podemos obtener un determinante igual al Dado pero con (n – 1) elementos nulos en una línea y luego al desarrollarlo por Los adjuntos de los elementos de esa línea. Así solamente hará falta calcular Un menor. Esto significa reducir un determinante de orden n a otro de orden n – 1.

Ejemplo: Resolver el determinante de la matriz A.

desarrollo por la tercera columna

= = = =

F₁ F₁ + 3F₂ F₃F₃ + (-2)F₂ F₄ F₄ + 2F₂

= (-1)^{2 + 3} .

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