Ecuaciones de la Recta y Relaciones Geométricas

Ecuación del Haz de Rectas

Haz de Rectas que Pasa por un Punto

Podemos representar una recta no vertical cualquiera en el plano como: y = mx + b. Si esta recta pasa por un punto, en este caso P₁: (x₁, y₁), dichas coordenadas deben satisfacer la ecuación, obteniendo: y₁ = mx₁ + b.

Restando miembro a miembro ambas ecuaciones (y = mx + b) e (y₁ = mx₁ + b) obtenemos: y - y₁ = m(x - x₁) → Ecuación del haz de rectas que pasa por un punto.

Nota: No se pueden representar rectas verticales con esta ecuación ya que la tangente de 90° no está definida.

Haz de Rectas que Pasa por Dos Puntos

Como la ecuación que pasa por un punto P₁ es y - y₁ = m(x - x₁) y si esta recta también pasa por el punto P₂, obtendremos su ecuación determinando el valor de su pendiente"".

De la ecuación del haz de rectas que pasa por un punto, obtenemos la ecuación de la recta que pasa por los puntos (x₁, y₁) y (x₂, y₂):

y - y₁ = ( (y₂ - y₁) / (x₂ - x₁))(x - x₁)

Distancia Entre Dos Puntos

Sean P₁ = (x₁, y₁) y P₂ = (x₂, y₂) dos puntos cualesquiera del plano. Denotamos como d la distancia entre P₁ y P₂. Usando el teorema de Pitágoras obtenemos que:

Por ende:

d = √((x₂ - x₁)² + (y₂ - y₁)²)

Ángulo Entre Dos Rectas

Cuando dos rectas se intersectan forman dos ángulos suplementarios, es decir: α(r₁r₂) + β(r₁r₂) = 180°. De estos dos ángulos, denominamos ángulo entre las rectas r₁ y r₂ al menor de ellos, en este caso ω.

Sean r₁: y = m₁x + b₁ y r₂: y = m₂x + b₂

Si por el punto de intersección de ambas rectas trazamos un segmento paralelo al eje de abscisas notaremos que ω = b - a, por ende: tan ω = tan (b - a). Luego, por una propiedad de la función tangente tenemos que:

Condición de Paralelismo y Perpendicularidad

Paralelismo

Dos rectas son paralelas si y solo si sus pendientes son iguales. Si dos rectas son paralelas, lo anotamos en forma simbólica como: .

Utilizando el ángulo entre dos rectas, resulta que:

Perpendicularidad

Dos rectas son perpendiculares si y solo si el producto de sus pendientes es igual a -1. Si dos rectas son perpendiculares, lo anotamos en forma simbólica como: r₁ ⊥ r₂.

Utilizando el ángulo entre dos rectas, resulta que:

tan 90° = |(m₂ - m₁) / (1 + m₁m₂)| = ∞

Por lo tanto, para que dos rectas sean perpendiculares, el denominador debe ser igual a cero:

1 + m₁m₂ = 0 => m₁m₂ = -1